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其内容是： 

$x,y$ 的不定方程 $ax + by = c$ 有整数解的充要条件是 $\gcd(a, b)\mid c$ 。

即为如果 $a$ 与 $b$ 互质，那么一定存在两个整数 $x$ 与 $y$，使得 $ax+by=1$。

设 $a,b$ 是不全为零的整数, 则存在整数 $x,y$, 使得 $ax+by=\gcd(a,b)$.

## 证明

还没有添加。

1. 若任何一个等于 $0$, 则 $\gcd(a,b)=a$. 这时定理显然成立.

## 应用

2. 若 $a,b$ 不等于 $0$.

[Codeforces Round #290 (Div. 2) D. Fox And Jumping](http://codeforces.com/contest/510/problem/D)

    由于 $\gcd(a,b)=\gcd(a,-b)$,

给出 $n$ 张卡片，分别有 $l_i$ 和 $c_i$。在一条无限长的纸带上，你可以选择花 $c_i$ 的钱来购买卡片 $i$，从此以后可以向左或向右跳 $l_i$ 个单位。问你至少花多少元钱才能够跳到纸带上全部位置。若不行，输出 $-1$。

    不妨设 $a,b$ 都大于 $0$, $a\geq b,\gcd(a,b)=d$.

    对 $ax+by=d$, 两边同时除以$d$, 可得 $a_1x+b_1y=1$, 其中 $(a_1,b_1)=1$.

    转证 $a_1x+b_1y=1$. 由带余除法:

    $a_1=q_1b+r_1$, 其中 $0\leq r_1<b_1$.

    $b_1=q_2r_1+r_2$, 其中 $0\leq r_2<r_1$.

    $r_1=q_3r_2+r_3$, 其中 $0\leq r_3<r_2$.

    $$\cdots$$

    $$r_{n-3}=q_{n-1}r_{n-2}+r_{n-1}$$

    $$r_{n-2}=q_nr_{n-1}+r_n$$

    $$r_{n-1}=q_{n+1}r_n$$

- 正解：裴蜀定理+动态规划

    于是, 有

- 最优解：裴蜀定理+ Dijkstra

    $$\gcd(a_1,b_1)=\gcd(b_1,r_1)=\gcd(r_1,r_2)=\cdots=(r_{n-1},r_n)=1$$

    故

    $$r_{n-2}=x_nr_{n-1}+1$$

    即

    $$1=r_{n-2}-x_nr_{n-1}$$

    由倒数第三个式子 $r_{n-1}=r_{n-3}-x_{n-1}r_{n-2}$ 代入上式, 得

    $$1=(1+x_nx_{n-1})r_{n-2}-x_nr_{n-3}$$

    然后用同样的办法用它上面的等式逐个地消去 $r_{n-2},\cdots,r_1$,

    可证得 $1=a_1x+b_1y$.

## 应用

!!! Codeforces Round #290 (Div. 2) D. Fox And Jumping

    给出 $n$ 张卡片，分别有 $l_i$ 和 $c_i$。在一条无限长的纸带上，你可以选择花 $c_i$ 的钱来购买卡片 $i$，从此以后可以向左或向右跳 $l_i$ 个单位。问你至少花多少元钱才能够跳到纸带上全部位置。若不行，输出 $-1$。

分析该问题，先考虑两个数的情况，发现想要跳到每一个格子上，必须使得这些数通过数次相加或相加得出的绝对值为 $1$，进而想到了裴蜀定理。

如果 $a$ 与 $b$ 互质，那么一定存在两个整数 $x$ 与 $y$，使得 $ax+by=1$。

可以推出：如果 $a$ 与 $b$ 互质，那么一定存在两个整数 $x$ 与 $y$，使得 $ax+by=1$.

由此得出了若选择的卡牌的数通过数次相加或相减得出的绝对值为 $1$ ，那么这些数一定互质，此时可以考虑动态规划求解。

由于：互质即为最大公因数为 $1$，$\gcd(0,x)=x$ 这两个定理，可以证明该算法的正确。选择优先队列优化 Dijkstra 求解。

不过还有个问题，即为需要记录是否已经买过一个卡片，开数组标记由于数据范围达到 $10^9$ 会超出内存限制，可以想到使用 `unordered_map` （比普通的 `map` 更快地访问各个元素，迭代效率较低）来标记。

另外，`__gcd` 是 OI 禁用的函数，仅供平时练习所用。

### Code

```cpp

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n,t[300],k[300];

unordered_map<int,int>mp;

priority_queue<pair<int,int>>q;

void add(int g,int k)

{

    if(mp.find(g)==mp.end()||mp[g]>k)

    {

        mp[g]=k;

        q.push({-k,g});

    }

}

int main()

{

    scanf("%d",&n);

    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&t[i]);

    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&k[i]);

    add(0,1);

    while(!q.empty())

    {

        int u=q.top().second;

        int w=-q.top().first;

        q.pop();

        if(mp[u]!=w)  continue;

        if(u==1) return printf("%d\n",w-1),0;

        for(int i=0;i<n;i++) add(__gcd(u,t[i]),k[i]+w);

    }

    puts("-1");

    return 0;

}

```

不过还有个问题，即为需要记录是否已经买过一个卡片，开数组标记由于数据范围达到$10^9$会超出内存限制，可以想到使用 `unordered_map` （比普通的 `map` 更快地访问各个元素，迭代效率较低，详见 [STL-map](/ds/stl/map/)）