Update bezouts.md

    $$\cdots$$

    $$r_{n-3}=q_{n-1}r_{n-2}+r_{n-1}.$$

    $$r_{n-3}=q_{n-1}r_{n-2}+r_{n-1}$$

    $$r_{n-2}=q_nr_{n-1}+r_n.$$

    $$r_{n-2}=q_nr_{n-1}+r_n$$

    $$r_{n-1}=q_{n+1}r_n.$$

    $$r_{n-1}=q_{n+1}r_n$$

    于是, 有

    $$\gcd(a_1,b_1)=\gcd(b_1,r_1)=\gcd(r_1,r_2)=\cdots=(r_{n-1},r_n)=1.$$

    $$\gcd(a_1,b_1)=\gcd(b_1,r_1)=\gcd(r_1,r_2)=\cdots=(r_{n-1},r_n)=1$$

    故

    $$r_{n-2}=x_nr_{n-1}+1.$$

    $$r_{n-2}=x_nr_{n-1}+1$$

    即

    $$1=r_{n-2}-x_nr_{n-1}.$$

    $$1=r_{n-2}-x_nr_{n-1}$$

    由倒数第三个式子 $r_{n-1}=r_{n-3}-x_{n-1}r_{n-2}$ 代入上式, 得

    $$1=(1+x_nx_{n-1})r_{n-2}-x_nr_{n-3}.$$

    $$1=(1+x_nx_{n-1})r_{n-2}-x_nr_{n-3}$$

    然后用同样的办法用它上面的等式逐个地消去 $r_{n-2},\cdots,r_1$,