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我们用蓝色表示初始状态，用绿色表示终止状态。

对于字符串 $s=``"$ ：

对于字符串 $s=“"$ ：

![](./images/SAM/SA.svg)

对于字符串 $s=``a\!"$ ：

对于字符串 $s=“a\!"$ ：

![](./images/SAM/SAa.svg)

对于字符串 $s=``aa\!"$ ：

对于字符串 $s=“aa\!"$ ：

![](./images/SAM/SAaa.svg)

对于字符串 $s=``ab\!"$ ：

对于字符串 $s=“ab\!"$ ：

![](./images/SAM/SAab.svg)

对于字符串 $s=``abb\!"$ ：

对于字符串 $s=“abb\!"$ ：

![](./images/SAM/SAabb.svg)

对于字符串 $s=``abbb\!"$ ：

对于字符串 $s=“abbb\!"$ ：

![](./images/SAM/SAabbb.svg)

### 结束位置 `endpos`

考虑字符串 $s$ 的任意非空子串 $t$ ，我们记 $endpos(t)$ 为在字符串 $s$ 中 $t$ 的所有结束位置（假设对字符串中字符的编号从零开始）。例如，对于字符串 $``abcbc\!"$，我们有 $endpos(``bc\!")=2,\,4$。

考虑字符串 $s​$ 的任意非空子串 $t​$ ，我们记 $endpos(t)​$ 为在字符串 $s​$ 中 $t​$ 的所有结束位置（假设对字符串中字符的编号从零开始）。例如，对于字符串 $“abcbc\!"​$，我们有 $endpos(“bc\!")=2,\,4​$。

两个子串 $t_1$ 与 $t_2$ 的 $endpos$ 集合可能相等： $endpos(t_1)=endpos(t_2)$ 。这样所有字符串 $s$ 的非空子串都可以根据它们的 $endpos$ 集合被分为若干 **等价类** 。

显然， SAM 中的每个状态对应一个或多个 $endpos$ 相同的子串。换句话说， SAM 中的状态数等于所有子串的等价类的个数，再加上初始状态。 SAM 的状态个数等价于 $endpos$ 相同的一个或多个子串所组成的集合的个数 $+1$ 。

显然， SAM 中的每个状态对应一个或多个 $endpos$ 相同的子串。换句话说， SAM 中的状态数等于所有子串的等价类的个数，再加上初始状态。 SAM 的状态个数等价于 $endpos$ 相同的一个或多个子串所组成的集合的个数 $+1​$ 。

我们稍后将会用这个假设来介绍构造 SAM 的算法。我们将发现， SAM 需要满足的所有性质，除了最小性以外都满足了。由 Nerode 定理我们可以得出最小性（不会在这篇文章中证明）。

结合前面的引理有：后缀链接构成的树本质上是 $endpos$ 集合构成的一棵树。

以下是对字符串 $``abcbc\!"$ 构造 SAM 时产生的后缀链接树的一个 **例子** ，节点被标记为对应等价类中最长的子串。

以下是对字符串 $“abcbc\!"$ 构造 SAM 时产生的后缀链接树的一个 **例子** ，节点被标记为对应等价类中最长的子串。

![](./images/SAM/SA_suffix_links.svg)

我们定义一个函数来初始化 SAM （创建一个只有初始状态的 SAM）。

```cpp

void sa_init() {

void sam_init() {

  st[0].len = 0;

  st[0].link = -1;

  sz++;

最终我们给出主函数的实现：给当前行末增加一个字符，对应地在之前的基础上建造自动机。

```cpp

void sa_extend(char c) {

void sam_extend(char c) {

  int cur = sz++;

  st[cur].len = st[last].len + 1;

  int p = last;

然而我们也能在 **不借助这个算法** 的情况下 **证明** 这个估计值。我们回忆一下状态数等于不同的 $endpos$ 集合个数。这些 $endpos$ 集合形成了一棵树（祖先节点的集合包含了它所有孩子节点的集合）。考虑将这棵树稍微变形一下：只要它有一个只有一个孩子的内部结点（这意味着该子节点的集合至少遗漏了它的父集合中的一个位置），我们创建一个含有这个遗漏位置的集合。最后我们可以获得一棵每一个内部结点的度数大于 1 的树，且叶子节点的个数不超过 $n$ 。因此这样的树里有不超过 $2n-1$ 个节点。

字符串 $``abbb\ldots bbb\!"$ 的状态数达到了该上界：从第三次迭代后的每次迭代，算法都会拆开一个状态，最终产生恰好 $2n-1$ 个状态。

字符串 $“abbb\ldots bbb\!"$ 的状态数达到了该上界：从第三次迭代后的每次迭代，算法都会拆开一个状态，最终产生恰好 $2n-1$ 个状态。

### 转移数

现在我们来估计不连续的转移的数量。令当前不连续转移为 $(p,\,q)$ ，其字符为 $c$ 。我们取它的对应字符串 $u+c+w$ ，其中字符串 $u$ 对应于初始状态到 $p$ 的最长路径， $w$ 对应于从 $p$ 到任意终止状态的最长路径。一方面，每个不完整的字符串所对应的形如 $u+c+w$ 的字符串是不同的（因为字符串 $u$ 和 $w$ 仅由完整的转移组成）。另一方面，由终止状态的定义，每个形如 $u+c+w$ 的字符串都是整个字符串 $s$ 的后缀。因为 $s$ 只有 $n$ 个非空后缀，且形如 $u+c+w$ 的字符串都不包含 $s$ （因为整个字符串只包含完整的转移），所以非完整的转移的总数不会超过 $n-1$ 。

将以上两个估计值相加，我们可以得到上界 $3n-3$ 。然而，最大的状态数只能在类似于 $``abbb\ldots bbb\!"$ 的情况中产生，而此时转移数量显然少于 $3n-3$ 。

将以上两个估计值相加，我们可以得到上界 $3n-3$ 。然而，最大的状态数只能在类似于 $“abbb\ldots bbb\!"$ 的情况中产生，而此时转移数量显然少于 $3n-3$ 。

因此我们可以获得更为紧确的 SAM 的转移数的上界： $3n-4$ 。字符串 $``abbb\ldots bbbc\!"$ 就达到了这个上界。

因此我们可以获得更为紧确的 SAM 的转移数的上界： $3n-4$ 。字符串 $“abbb\ldots bbbc\!"$ 就达到了这个上界。

## 应用

我们构造一个后缀自动机。我们对 SAM 中的所有状态预处理位置 $firstpos$ 。即，对每个状态 $v$ 我们想要找到第一次出现这个状态的末端的位置 $firstpos[v]$ 。换句话说，我们希望先找到每个集合 $endpos$ 中的最小的元素（显然我们不能显式地维护所有 $endpos$ 集合）。

为了维护 $firstpos$ 这些位置，我们将原函数扩展为 `sa_extend()` 。当我们创建新状态 $cur$ 时，我们令：

为了维护 $firstpos$ 这些位置，我们将原函数扩展为 `sam_extend()` 。当我们创建新状态 $cur$ 时，我们令：

$$

firstpos(cur)=len(cur)-1

代码实现：

```cpp

string lcs(string S, string T) {

  sa_init();

  for (int i = 0; i < S.size(); i++) sa_extend(S[i]);

string lcs(const string &S, const string &T) {

  sam_init();

  for (int i = 0; i < S.size(); i++) sam_extend(S[i]);

  int v = 0, l = 0, best = 0, bestpos = 0;

  for (int i = 0; i < T.size(); i++) {