Update knapsack.md

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在程序实现的时候，由于对当前状态有影响的只有 $f_{i-1}$，故可以去掉第一维，直接用 $f_{i}$ 来表示处理到当前物品时背包容量为 $i$ 的最大价值，得出以下方程：

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f_i=max \left(f_i,f_{i-w_i}+v_i\right)

f_i=\max \left(f_i,f_{i-w_i}+v_i\right)

$$

**务必牢记并理解这个转移方程，因为大部分背包问题的转移方程都是在此基础上推导出来的。**

还有一点需要注意的是，很容易写出这样的错误核心代码：

这种背包问题其实就是如果选第$i$件物品，就必须选第 $j$ 件物品，保证不会循环引用，一部分题目甚至会出现多叉树的引用形式。为了方便，就称不依赖于别的物品的物品称为“主件”，依赖于某主件的物品称为“附件”。

对于包含一个主件和若干个附件的集合有以下可能性：仅选择主件，选择主件后再选择一个附件，选择主件后再选

择两个附件……需要将以上可能性的容量和价值转换成一件件物品。因为这几种可能性只能选一种，所以可以将这看成分组背包。

对于包含一个主件和若干个附件的集合有以下可能性：仅选择主件，选择主件后再选择一个附件，选择主件后再选择两个附件……需要将以上可能性的容量和价值转换成一件件物品。因为这几种可能性只能选一种，所以可以将这看成分组背包。

如果是多叉树的集合，则要先算子节点的集合，最后算父节点的集合。

这种问题就是把求最大值换成求和即可。

例如 0-1 背包问题的转移方程就变成了：

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dp_i=sum(dp_i,dp_{i-c_i})

dp_i=\sum(dp_i,dp_{i-c_i})

$$

初始条件：$dp_0=1$

因为当容量为0时也有一个方案：什么都不装！

因为当容量为 $0$ 时也有一个方案：什么都不装！

#### 求最优方案总数