Loading docs/ds/bst.md +121 −1 Original line number Diff line number Diff line Loading @@ -14,7 +14,9 @@ ## 基本操作 由二叉搜索树的递归定义可得，二叉搜索树的中序遍历权值的序列为非降的序列。 ### 遍历二叉搜索树 由二叉搜索树的递归定义可得，二叉搜索树的中序遍历权值的序列为非降的序列。时间复杂度为 $O(n)$ 。 遍历一棵二叉搜索树的代码如下： Loading @@ -27,3 +29,121 @@ void print(int o) //遍历以 o 为根节点的二叉搜索树 print(rc[o]); //递归遍历右子树 } ``` ### 查找最小 / 最大值 由二叉搜索树的性质可得，二叉搜索树上的最小值为二叉搜索树左链的顶点，最大值为二叉搜索树右链的顶点。时间复杂度为 $O(h)$ 。 ```cpp int findmin(int o) { if (!lc[o]) return val[o]; return findmin(lc[o]); //一直向左儿子跳 } int findmax(int o) { if (!rc[o]) return val[o]; return findmax(rc[o]); //一直向右儿子跳 } ``` ### 插入一个元素 定义 `insert(o,v)` 为在以 $o$ 为根节点的二叉搜索树中插入一个值为 $v$ 的新节点。 分类讨论如下： 若 $o$ 为空，直接返回一个值为 $v$ 的新节点。 若 $o$ 的权值大于 $v$ ，在 $o$ 的左子树中插入权值为 $v$ 的节点。 若 $o$ 的权值等于 $v$ ，该节点的附加域该值出现的次数自增 $1$ 。 若 $o$ 的权值小于 $v$ ，在 $o$ 的右子树中插入权值为 $v$ 的节点。 时间复杂度为 $O(h)$ 。 ```cpp void insert(int o, int v) { if (!o) return; siz[o]++; if (val[o] > v) insert(lc[o], v); if (val[o] == v) { cnt[o]++; return; } if (val[o] < v) insert(rc[o], v); } ``` ### 删除一个元素 定义 `delete(o,v)` 为在以 $o$ 为根节点的二叉搜索树中删除一个值为 $v$ 的节点。 先在二叉搜索树中找到权值为 $v$ 的节点，分类讨论如下： 若该节点的附加 $cnt$ 为 $1$ ： 若 $o$ 为叶子节点，直接删除该节点即可。 若 $o$ 为链节点，即只有一个儿子的节点，返回这个儿子。 若 $o$ 有两个非空子节点，一般是用它左子树的最小值代替它，然后将它删除。 时间复杂度 $O(h)$ 。 ```cpp int deletemin(int o) { if (!lc[o]) int ret = val[o], o = rc[o], return ret; else return deletemin(lc[o]); } void delete (int& o, int v) { siz[o]--; if (val[o] == v) { if (lc[o] && rc[o]) o = deletemin(rc[o]); else o = lc[o] + rc[o]; return; } if (val[o] > v) delete (lc[o], v); if (val[o] < v) delete (rc[o], v); } ``` ### 求元素的排名 排名定义为将数组元素排序后第一个相同元素之前的数的个数 $+1$ 。 维护每个根节点的子树大小 $siz$ 。查找一个元素的排名，首先从根节点跳到这个元素，若向右跳，答案加上左儿子节点个数加当前节点重复的数个数，最后答案加上终点的左儿子子树大小 $+1$ 。 时间复杂度 $O(h)$ 。 ```cpp int queryrnk(int o, int v) { if (val[o] == v) return siz[lc[o]] + 1; if (val[o] > v) return queryrnk(lc[o], v); if (val[o] < v) return queryrnk(rc[o], v) + siz[lc[o]] + cnt[o]; } ``` ### 查找排名为 $k$ 的元素 在一棵子树中，根节点的排名取决于其左子树的大小。 若其左子树的大小大于等于 $k$ ，则该元素在左子树中； 若其左子树的大小在区间 $[k-1,k+cnt-1]$ 中，则该元素为子树的根节点； 若其左子树的大小小于 $k+cnt-1$ ，则该元素在右子树中。 时间复杂度 $O(h)$ 。 ```cpp int querykth(int o, int k) { if (siz[lc[o]] >= k) return querykth(lc[o], k); if (siz[lc[o]] < k + cnt - 1) return querykth(rc[o], k - siz[lc[o]] - cnt[o] + 1); return o; } ``` Loading
docs/ds/bst.md +121 −1 Original line number Diff line number Diff line Loading @@ -14,7 +14,9 @@ ## 基本操作 由二叉搜索树的递归定义可得，二叉搜索树的中序遍历权值的序列为非降的序列。 ### 遍历二叉搜索树 由二叉搜索树的递归定义可得，二叉搜索树的中序遍历权值的序列为非降的序列。时间复杂度为 $O(n)$ 。 遍历一棵二叉搜索树的代码如下： Loading @@ -27,3 +29,121 @@ void print(int o) //遍历以 o 为根节点的二叉搜索树 print(rc[o]); //递归遍历右子树 } ``` ### 查找最小 / 最大值 由二叉搜索树的性质可得，二叉搜索树上的最小值为二叉搜索树左链的顶点，最大值为二叉搜索树右链的顶点。时间复杂度为 $O(h)$ 。 ```cpp int findmin(int o) { if (!lc[o]) return val[o]; return findmin(lc[o]); //一直向左儿子跳 } int findmax(int o) { if (!rc[o]) return val[o]; return findmax(rc[o]); //一直向右儿子跳 } ``` ### 插入一个元素 定义 `insert(o,v)` 为在以 $o$ 为根节点的二叉搜索树中插入一个值为 $v$ 的新节点。 分类讨论如下： 若 $o$ 为空，直接返回一个值为 $v$ 的新节点。 若 $o$ 的权值大于 $v$ ，在 $o$ 的左子树中插入权值为 $v$ 的节点。 若 $o$ 的权值等于 $v$ ，该节点的附加域该值出现的次数自增 $1$ 。 若 $o$ 的权值小于 $v$ ，在 $o$ 的右子树中插入权值为 $v$ 的节点。 时间复杂度为 $O(h)$ 。 ```cpp void insert(int o, int v) { if (!o) return; siz[o]++; if (val[o] > v) insert(lc[o], v); if (val[o] == v) { cnt[o]++; return; } if (val[o] < v) insert(rc[o], v); } ``` ### 删除一个元素 定义 `delete(o,v)` 为在以 $o$ 为根节点的二叉搜索树中删除一个值为 $v$ 的节点。 先在二叉搜索树中找到权值为 $v$ 的节点，分类讨论如下： 若该节点的附加 $cnt$ 为 $1$ ： 若 $o$ 为叶子节点，直接删除该节点即可。 若 $o$ 为链节点，即只有一个儿子的节点，返回这个儿子。 若 $o$ 有两个非空子节点，一般是用它左子树的最小值代替它，然后将它删除。 时间复杂度 $O(h)$ 。 ```cpp int deletemin(int o) { if (!lc[o]) int ret = val[o], o = rc[o], return ret; else return deletemin(lc[o]); } void delete (int& o, int v) { siz[o]--; if (val[o] == v) { if (lc[o] && rc[o]) o = deletemin(rc[o]); else o = lc[o] + rc[o]; return; } if (val[o] > v) delete (lc[o], v); if (val[o] < v) delete (rc[o], v); } ``` ### 求元素的排名 排名定义为将数组元素排序后第一个相同元素之前的数的个数 $+1$ 。 维护每个根节点的子树大小 $siz$ 。查找一个元素的排名，首先从根节点跳到这个元素，若向右跳，答案加上左儿子节点个数加当前节点重复的数个数，最后答案加上终点的左儿子子树大小 $+1$ 。 时间复杂度 $O(h)$ 。 ```cpp int queryrnk(int o, int v) { if (val[o] == v) return siz[lc[o]] + 1; if (val[o] > v) return queryrnk(lc[o], v); if (val[o] < v) return queryrnk(rc[o], v) + siz[lc[o]] + cnt[o]; } ``` ### 查找排名为 $k$ 的元素 在一棵子树中，根节点的排名取决于其左子树的大小。 若其左子树的大小大于等于 $k$ ，则该元素在左子树中； 若其左子树的大小在区间 $[k-1,k+cnt-1]$ 中，则该元素为子树的根节点； 若其左子树的大小小于 $k+cnt-1$ ，则该元素在右子树中。 时间复杂度 $O(h)$ 。 ```cpp int querykth(int o, int k) { if (siz[lc[o]] >= k) return querykth(lc[o], k); if (siz[lc[o]] < k + cnt - 1) return querykth(rc[o], k - siz[lc[o]] - cnt[o] + 1); return o; } ```
