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## 思路

记 $[l,r]$ 为答案的值域，$[L,R]$ 为答案的定义域。（也就是说求答案时仅考虑在区间 $[L,R]$ 内的操作和元素）

记 $[l,r]$ 为答案的值域，$[L,R]$ 为答案的定义域。（也就是说求答案时仅考虑下标在区间 $[L,R]$ 内的操作和询问，这其中询问的答案在 $[l,r]$ 内 ）

- 我们首先把所有操作**按顺序**存入数组中，然后开始分治。

- 我们首先把所有操作**按时间顺序**存入数组中，然后开始分治。

- 在每一层分治中，利用数据结构（常见的是树状数组）统计当前查询的答案和 $mid$ 之间的关系。

- 根据查询出来的答案和 $mid$ 间的关系（小于等于 $mid$ 和大于 $mid$）将当前处理的操作序列分为 $q1$ 和 $q2$ 两份，并分别递归处理。

- 当 $l=r$ 时，找到答案，记录答案并返回即可。

需要注意的是，在整体二分过程中，若当前处理的值域为 $[l,r]$，则此时最终答案范围不在 $[l,r]$ 的询问已经被筛掉了。

需要注意的是，在整体二分过程中，若当前处理的值域为 $[l,r]$，则此时最终答案范围不在 $[l,r]$ 的询问会在其他时候处理。

## 详解

可以对于每个询问进行一次二分；但是，也可以把所有的询问放在一起二分。

先考虑二分的本质：假设要猜一个 $[l,r]$ 之间的数，猜测之后会知道是猜大了，猜小了还是刚好。当然可以从 $l$ 枚举到 $r$，但更优秀的方法是二分：猜测答案是$m = \lfloor\frac{l + r}{2}\rfloor$ ，然后去验证 $m$ 的正确性，再调整边界。

先考虑二分的本质：假设要猜一个 $[l,r]$ 之间的数，猜测之后会知道是猜大了，猜小了还是刚好。当然可以从 $l$ 枚举到 $r$，但更优秀的方法是二分：猜测答案是$m = \lfloor\frac{l + r}{2}\rfloor$ ，然后去验证 $m$ 的正确性，再调整边界。这样做每次询问的复杂度为 $O(n\log_2 n)$ ，若询问次数为 $q$ ，则时间复杂度为 $O(qn\log_2 n)$ 。

回过头来，对于当前的所有询问，可以去猜测所有询问的答案都是 $mid$，然后去依次验证每个询问的答案应该是小于等于 $mid$ 的还是大于 $mid$ 的，并将询问分为两个部分（不大于/大于），对于每个部分继续二分。注意：如果一个询问的答案是大于 $mid$ 的，则在将其划至右侧前需更新它的 $k$，即，如果当前数列中小于等于 $mid$ 的数有 $t$ 个，则将询问划分后实际是在右区间询问第 $k - t$ 小数。如果一个部分的 $l = r$ 了，则结束这个部分的二分。

回过头来，对于当前的所有询问，可以去猜测所有询问的答案都是 $mid$，然后去依次验证每个询问的答案应该是小于等于 $mid$ 的还是大于 $mid$ 的，并将询问分为两个部分（不大于/大于），对于每个部分继续二分。注意：如果一个询问的答案是大于 $mid$ 的，则在将其划至右侧前需更新它的 $k$，即，如果当前数列中小于等于 $mid$ 的数有 $t$ 个，则将询问划分后实际是在右区间询问第 $k - t$ 小数。如果一个部分的 $l = r$ 了，则结束这个部分的二分。利用线段树的相关知识，我们每次将整个答案可能在的区间 $[1,maxans]$ 划分成了若干个部分，这样的划分共进行了 $O(\log_2 maxans)$ 次，一次划分会将整个操作序列操作一次。若对整个序列进行操作，并支持对应的查询的时间复杂度为 $O(T)$ ，则整体二分的时间复杂度为 $O(T\log_2 n)$ 。

试试完成以下代码：