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### 查询第k小：一次二分多个询问

> **题1** 在一个数列中查询第 $k​$ 小的数。

> **题1** 在一个数列中查询第 $k$ 小的数。

当然可以直接排序。如果用二分法呢？可以用数据结构记录每个大小范围内有多少个数，然后用二分法猜测，利用数据结构检验。

可以对于每个询问进行一次二分；但是，也可以把所有的询问放在一起二分。

先考虑二分的本质：假设要猜一个 $[l,r]$ 之间的数，猜测之后会知道是猜大了，猜小了还是刚好。当然可以从 $l$ 枚举到 $r$，但更优秀的方法是二分：猜测答案是$m = \lfloor\frac{l + r}{2}\rfloor$ ，然后去验证 $m​$ 的正确性，再调整边界。

先考虑二分的本质：假设要猜一个 $[l,r]$ 之间的数，猜测之后会知道是猜大了，猜小了还是刚好。当然可以从 $l$ 枚举到 $r$，但更优秀的方法是二分：猜测答案是$m = \lfloor\frac{l + r}{2}\rfloor$ ，然后去验证 $m$ 的正确性，再调整边界。

回过头来，对于当前的所有询问，可以去猜测所有询问的答案都是 $mid$，然后去依次验证每个询问的答案应该是小于等于 $mid$ 的还是大于 $mid$ 的，并将询问分为两个部分（不大于/大于），对于每个部分继续二分。注意：如果一个询问的答案是大于 $mid$ 的，则在将其划至右侧前需更新它的 $k$，即，如果当前数列中小于等于 $mid$ 的数有 $t$ 个，则将询问划分后实际是在右区间询问第 $k - t$ 小数。如果一个部分的 $l = r$ 了，则结束这个部分的二分。

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### 参考习题

### 参考习题

[「国家集训队」 矩阵乘法 ](https://www.luogu.org/problemnew/show/P1527)