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共有 $m$ 个状态，第 $i$ 个状态表示已经匹配了前 $i$ 个字符。

定义 $trans_{i,c}$ 表示状态 $i$ 读入字符 $c$ 后到达的状态，$next_{i}$ 表示 [prefix function](../prefix-function)，则有:

定义 $trans_{i,c}$ 表示状态 $i$ 读入字符 $c$ 后到达的状态，$next_{i}$ 表示 [prefix function](/string/prefix-function)，则有:

$$

trans_{i,c} =

（约定 $next_{0}=0$ ）

我们发现 $trans_{i}$ 只依赖于之前的值，所以可以跟 [KMP](../prefix-function/#knuth-morris-pratt) 一起求出来。

我们发现 $trans_{i}$ 只依赖于之前的值，所以可以跟 [KMP](/string/prefix-function/#knuth-morris-pratt) 一起求出来。

时间和空间复杂度： $O(m|\Sigma|)$ 

## KMP 算法

参见[KMP](/string/kmp)

参见[KMP](/string/prefix-function/#knuth-morris-pratt)

## Trie

先考虑怎么存多个串

先考虑怎么存多个串：

一种树，每个结点有 $|∑|$ 个儿子，每条边表示一个字符

一种树，每个结点有 $|∑|$ 个儿子，每条边表示一个字符。

空间 $O(len)$ （如果假设 $|∑|$ 为常数）

空间 $O(len)$ （如果假设 $|∑|$ 为常数）。

要判断某个串是否等于某个模式串，只要在 Trie 上走一遍（线性的）

要判断某个串是否等于某个模式串，只要在 Trie 上走一遍（线性的）。

## 在 Trie 上 KMP

实际上要做的事情是求出 Trie 的每个节点的 $next$ 值

实际上要做的事情是求出 Trie 的每个节点的 $next$ 值。

当然，这里的 $next$ 不再是一个值，而是相当于是一个指针——它可能指向其他分支的节点。

这时 $next$ 的定义：最长的等于同长度的后缀的从根开始的路径的长度

这时 $next$ 的定义：最长的等于同长度的后缀的从根开始的路径的长度。

求法跟[KMP](/string/kmp)中的一样，只是要改成在 Trie 上[BFS](/search/bfs)

求法跟 [KMP](/string/prefix-function/#knuth-morris-pratt)中的一样，只是要改成在 Trie 上 [BFS](/search/bfs)。

复杂度：均摊分析失效了，其实只能在每条链上均摊分析，于是总复杂度为模式串长总和

复杂度：均摊分析失效了，其实只能在每条链上均摊分析，于是总复杂度为模式串长总和。