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不考虑各项系数的符号，将 $x^r$ 的系数的绝对值记做 $s(n, r)$，称为第一类 Stirling 数。

$s(n, r)$ 也是把 n 个不同的球排成 r 个非空循环排列的方法数。

关于第一类斯特林数的性质可以阅读 [Stirling Number of the First Kind](http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheFirstKind.html)。

### 递推形式

s(n,r) = (n-1)s(n-1,r)+s(n-1,r-1),\ n > r \geq 1

$$

考虑最后一个球，它可以单独构成一个非空循环排列，也可以插入到前面的某一个球的一侧。

若单独放，则有 $s(n-1,r-1)$ 种放法；若放在某个球的一侧，则有 $(n-1)s(n-1,r)$ 种放法。

## 第二类斯特林数（Stirling Number）

把 n 个不同的球放到 r 个相同的盒子里，假设没有空盒，则放球方案数记做 $S(n, r)$，称为第二类 Stirling 数。

S(n,r) = r S(n-1,r) + S(n-1,r-1),\ n > r \geq 1

$$

考虑最后一个球，若它单独放一个盒子，有 $S(n-1,r-1)$ 种放法；若是和前面的某一个球放在同一个盒子里，则有 $r S(n-1,r)$ 种放法。

## 例题

（2007 普及）将 $n$ 个数 $（1，2，…，n）$ 分成 $r$ 个部分。每个部分至少一个数。将不同划分方法的总数记为 $S_n^r$ 。例如， $S_4^2=7$ ，这 7 种不同的划分方法依次为 $\{\ (1) , (234) \}\,\{\ (2) ,  (134) \}\,\{\ (3) , (124) \}\,\{\ (4) , (123) \}\,\{\ (12) , (34) \}\,\{\ (13) , (24) \}\,\{\ (14) , (23) \}$ 。当 $n=6，r=3$ 时， $S_6^3$ =（）

$$

S_n^3 = \frac{1}{2} \times (3^{n-1}+1) - 2^{n-1}

$$

## 习题

[HDU3625](http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3625)

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