Loading docs/math/linear-programming.md +37 −36 Original line number Diff line number Diff line Loading @@ -5,15 +5,16 @@ 研究线性约束条件下线性目标函数极值问题的方法总称，是运筹学的一个分支，在多方面均有应用。线性规划的某些特殊情况，如网络流、多商品流量等问题都有可能作为 OI 问题出现 ### 线性规划问题的描述 一个问题要能转化为线性规划问题，首先需要有一个或多个线性约束条件，然后要求的目标函数也应该是线性的。那么，最容易也是最常用的描述方法就是标准型。 我们以[《算法导论》](https://mitpress.ublish.com/ereader/1/?preview#page/Cover)中线性规划一节提出的问题为例： > 假如你是一位~~毒瘤~~政治家，试图赢得一场选举，你的选区有三种：市区，郊区和乡村，这些选区分别有 100000、200000 和 50000 个选民，尽管并不是所有人都有足够的社会责任感去投票，你还是希望每个选区至少有半数选民投票以确保你可以当选 > > 显而易见的，你是一个正直、可敬的人，然而你意识到，在某些选区，某些议题可以更有效的赢取选票。你的首要议题是修筑更多的道路、枪支管制、农场补贴以及调整汽油税。你的竞选班子可以为你估测每花费$1000做广告，在每个选区可以赢取或者失去的选票的数量(千人)，如下表所示： > 显而易见的，你是一个正直、可敬的人，然而你意识到，在某些选区，某些议题可以更有效的赢取选票。你的首要议题是修筑更多的道路、枪支管制、农场补贴以及调整汽油税。你的竞选班子可以为你估测每花费 $1000 做广告，在每个选区可以赢取或者失去的选票的数量（千人），如下表所示： > | 政策 | 市区 | 郊区 | 乡村 | > | -------- | ---- | ---- | ---- | > \| -------- \| ---- \| ---- \| ---- \| > | 修路 | -2 | 5 | 3 | > | 枪支管制 | 8 | 2 | -5 | > | 农场补贴 | 0 | 0 | 10 | Loading @@ -21,31 +22,31 @@ 你的目标是计算出要在市区，郊区和乡村分别获得至少 50000，100000 和 25000 张选票所花费的最少钱数 我们可以使用数学语言来描述它: 我们可以使用数学语言来描述它： 设$x_1$为花费在修路广告上的钱(千美元) 设 $x_1$ 为花费在修路广告上的钱（千美元） 设$x_2$为花费在枪支管制广告上的钱(千美元) 设 $x_2$ 为花费在枪支管制广告上的钱（千美元） 设$x_3$为花费在农场补贴广告上的钱(千美元) 设 $x_3$ 为花费在农场补贴广告上的钱（千美元） 设$x_4$为花费在汽油税广告上的钱(千美元) 设 $x_4$ 为花费在汽油税广告上的钱（千美元） 那么我们可以将在市区获得至少 50000 张市区选票表述为 $-2x_1+8x_2+0x_3+10x_4\geq50$ 同样的,在郊区获得至少100000张选票和在乡村获得至少25000张选票可以表示为 同样的，在郊区获得至少 100000 张选票和在乡村获得至少 25000 张选票可以表示为 $5x_1+2x_2+0x_3+0x_4\geq100$ $3x_1-5x_2+10x_3-2x_4\geq25$ 显而易见的,广告服务提供商不会倒贴钱给你然后做反向广告,由此可得 显而易见的，广告服务提供商不会倒贴钱给你然后做反向广告，由此可得 $x_1,x_2,x_3,x_4\geq0$ 又因为我们的目标是使总费用最小,综上所述,原问题可以表述为: 又因为我们的目标是使总费用最小，综上所述，原问题可以表述为： 最小化 $x_1,x_2,x_3,x_4$ , Loading Loading @@ -89,18 +90,18 @@ 知道这些约束条件以后，我们需要将它们在平面直角坐标系中画出来 $x\leq4 $(红色区域) $x\leq4$ （红色区域）  $y\geq3 $(黑色区域) $y\geq3$ （黑色区域）  $x+2y\leq8 $(深红色区域以及包含于$\geq4$区域的浅红色区域) $x+2y\leq8$ （深红色区域以及包含于 $\geq4$ 区域的浅红色区域）  显而易见的，打了蓝色斜线的区域为三块区域的交集，这就是这个线性规划的所有可行解。因为题目中说明，需要最小化x和y，观察图像可知,点(2.3)为可行解中x和y最小的一个。因此，$x_{min}=2,y_{min}=3$ 显而易见的，打了蓝色斜线的区域为三块区域的交集，这就是这个线性规划的所有可行解。因为题目中说明，需要最小化 x 和 y，观察图像可知，点（2.3）为可行解中 x 和 y 最小的一个。因此， $x_{min}=2,y_{min}=3$ 把求解线性规划的图解法总结起来，就是先在坐标系中作出所有的约束条件，然后作出需要求极值的线性函数的定义域。定义域与约束条件的交集就是这个线性规划的解集，而所需求的极值由观察可以轻易得出。 Loading
docs/math/linear-programming.md +37 −36 Original line number Diff line number Diff line Loading @@ -5,15 +5,16 @@ 研究线性约束条件下线性目标函数极值问题的方法总称，是运筹学的一个分支，在多方面均有应用。线性规划的某些特殊情况，如网络流、多商品流量等问题都有可能作为 OI 问题出现 ### 线性规划问题的描述 一个问题要能转化为线性规划问题，首先需要有一个或多个线性约束条件，然后要求的目标函数也应该是线性的。那么，最容易也是最常用的描述方法就是标准型。 我们以[《算法导论》](https://mitpress.ublish.com/ereader/1/?preview#page/Cover)中线性规划一节提出的问题为例： > 假如你是一位~~毒瘤~~政治家，试图赢得一场选举，你的选区有三种：市区，郊区和乡村，这些选区分别有 100000、200000 和 50000 个选民，尽管并不是所有人都有足够的社会责任感去投票，你还是希望每个选区至少有半数选民投票以确保你可以当选 > > 显而易见的，你是一个正直、可敬的人，然而你意识到，在某些选区，某些议题可以更有效的赢取选票。你的首要议题是修筑更多的道路、枪支管制、农场补贴以及调整汽油税。你的竞选班子可以为你估测每花费$1000做广告，在每个选区可以赢取或者失去的选票的数量(千人)，如下表所示： > 显而易见的，你是一个正直、可敬的人，然而你意识到，在某些选区，某些议题可以更有效的赢取选票。你的首要议题是修筑更多的道路、枪支管制、农场补贴以及调整汽油税。你的竞选班子可以为你估测每花费 $1000 做广告，在每个选区可以赢取或者失去的选票的数量（千人），如下表所示： > | 政策 | 市区 | 郊区 | 乡村 | > | -------- | ---- | ---- | ---- | > \| -------- \| ---- \| ---- \| ---- \| > | 修路 | -2 | 5 | 3 | > | 枪支管制 | 8 | 2 | -5 | > | 农场补贴 | 0 | 0 | 10 | Loading @@ -21,31 +22,31 @@ 你的目标是计算出要在市区，郊区和乡村分别获得至少 50000，100000 和 25000 张选票所花费的最少钱数 我们可以使用数学语言来描述它: 我们可以使用数学语言来描述它： 设$x_1$为花费在修路广告上的钱(千美元) 设 $x_1$ 为花费在修路广告上的钱（千美元） 设$x_2$为花费在枪支管制广告上的钱(千美元) 设 $x_2$ 为花费在枪支管制广告上的钱（千美元） 设$x_3$为花费在农场补贴广告上的钱(千美元) 设 $x_3$ 为花费在农场补贴广告上的钱（千美元） 设$x_4$为花费在汽油税广告上的钱(千美元) 设 $x_4$ 为花费在汽油税广告上的钱（千美元） 那么我们可以将在市区获得至少 50000 张市区选票表述为 $-2x_1+8x_2+0x_3+10x_4\geq50$ 同样的,在郊区获得至少100000张选票和在乡村获得至少25000张选票可以表示为 同样的，在郊区获得至少 100000 张选票和在乡村获得至少 25000 张选票可以表示为 $5x_1+2x_2+0x_3+0x_4\geq100$ $3x_1-5x_2+10x_3-2x_4\geq25$ 显而易见的,广告服务提供商不会倒贴钱给你然后做反向广告,由此可得 显而易见的，广告服务提供商不会倒贴钱给你然后做反向广告，由此可得 $x_1,x_2,x_3,x_4\geq0$ 又因为我们的目标是使总费用最小,综上所述,原问题可以表述为: 又因为我们的目标是使总费用最小，综上所述，原问题可以表述为： 最小化 $x_1,x_2,x_3,x_4$ , Loading Loading @@ -89,18 +90,18 @@ 知道这些约束条件以后，我们需要将它们在平面直角坐标系中画出来 $x\leq4 $(红色区域) $x\leq4$ （红色区域）  $y\geq3 $(黑色区域) $y\geq3$ （黑色区域）  $x+2y\leq8 $(深红色区域以及包含于$\geq4$区域的浅红色区域) $x+2y\leq8$ （深红色区域以及包含于 $\geq4$ 区域的浅红色区域）  显而易见的，打了蓝色斜线的区域为三块区域的交集，这就是这个线性规划的所有可行解。因为题目中说明，需要最小化x和y，观察图像可知,点(2.3)为可行解中x和y最小的一个。因此，$x_{min}=2,y_{min}=3$ 显而易见的，打了蓝色斜线的区域为三块区域的交集，这就是这个线性规划的所有可行解。因为题目中说明，需要最小化 x 和 y，观察图像可知，点（2.3）为可行解中 x 和 y 最小的一个。因此， $x_{min}=2,y_{min}=3$ 把求解线性规划的图解法总结起来，就是先在坐标系中作出所有的约束条件，然后作出需要求极值的线性函数的定义域。定义域与约束条件的交集就是这个线性规划的解集，而所需求的极值由观察可以轻易得出。
