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## 线性规划

### 定义

研究线性约束条件下线性目标函数极值问题的方法总称，是运筹学的一个分支，在多方面均有应用。线性规划的某些特殊情况，如网络流、多商品流量等问题都有可能作为OI问题出现

### 线性规划问题的描述

一个问题要能转化为线性规划问题，首先需要有一个或多个线性约束条件，然后要求的目标函数也应该是线性的。那么，最容易也是最常用的描述方法就是标准型。

我们以[《算法导论》](https://mitpress.ublish.com/ereader/1/?preview#page/Cover)中线性规划一节提出的问题为例：

> 假如你是一位~~毒瘤~~政治家，试图赢得一场选举，你的选区有三种：市区，郊区和乡村，这些选区分别有100000、200000和50000个选民，尽管并不是所有人都有足够的社会责任感去投票，你还是希望每个选区至少有半数选民投票以确保你可以当选

>

> 显而易见的，你是一个正直、可敬的人，然而你意识到，在某些选区，某些议题可以更有效的赢取选票。你的首要议题是修筑更多的道路、枪支管制、农场补贴以及调整汽油税。你的竞选班子可以为你估测每花费$1000做广告，在每个选区可以赢取或者失去的选票的数量(千人)，如下表所示：

> | 政策     | 市区 | 郊区 | 乡村 |

> | -------- | ---- | ---- | ---- |

> | 修路     | -2   | 5    | 3    |

> | 枪支管制 | 8    | 2    | -5   |

> | 农场补贴 | 0    | 0    | 10   |

> | 汽油税   | 10   | 0    | -2   |

你的目标是计算出要在市区，郊区和乡村分别获得至少50000，100000和25000张选票所花费的最少钱数

我们可以使用数学语言来描述它:

​	设$x_1​$为花费在修路广告上的钱(千美元)

​	设$x_2$为花费在枪支管制广告上的钱(千美元)

​	设$x_3$为花费在农场补贴广告上的钱​(千美元)

​	设$x_4​$为花费在汽油税广告上的钱(千美元)

那么我们可以将在市区获得至少50000张市区选票表述为

​	$-2x_1+8x_2+0x_3+10x_4\geq50​$

同样的,在郊区获得至少100000张选票和在乡村获得至少25000张选票可以表示为

​	$5x_1+2x_2+0x_3+0x_4\geq100​$

​	$3x_1-5x_2+10x_3-2x_4\geq25​$

显而易见的,广告服务提供商不会倒贴钱给你然后做反向广告,由此可得

​	$x_1,x_2,x_3,x_4\geq0​$

又因为我们的目标是使总费用最小,综上所述,原问题可以表述为:

最小化$x_1,x_2,x_3,x_4$,

满足

​	$-2x_1+8x_2+0x_3+10x_4\geq50​$

​	    $5x_1+2x_2+0x_3+0x_4\geq100$

​	    $3x_1-5x_2+10x_3-2x_4\geq25​$

​		   	           $x_1,x_2,x_3,x_4\geq0$

这个线性规划的解就是这个问题的最优策略

用更具有普遍性的语言说：

已知一组实数$[a_1..a_n]​$和一组变量$[x_1..x_n]​$,在定义上有函数$f(x_1..x_n)=\sum_{i=1}^na_ix_i​$

显而易见的，这个函数是线性的。如果b是一个实数而满足$f(x_1..x_n)=b$,则这个等式被称为线性等式，同样的，满足$f(x_1..x_n)\leq b$或者$f(x_1..x_n)\geq b$则称之为线性不等式

在线性规划问题中，线性等式和线性不等式统称为线性约束。

一个线性规划问题是一个线性函数的极值问题，而这个线性函数应该服从于一个或者多个线性约束。

### 图解法

上面那个问题中变量较多，不便于使用图解法，所以用下面的问题来介绍图解法：

最小化$x,y$

满足 

​	$x+2y\leq8 ​$

​	$x\leq4 ​$

​	$y\geq3 ​$

​	$x,y\in N​$

知道这些约束条件以后，我们需要将它们在平面直角坐标系中画出来

$x\leq4 $(红色区域)

![img](images/linear-programming1.png)

$y\geq3 $(黑色区域)

![img](images/linear-programming2.png)

$x+2y\leq8 $(深红色区域以及包含于$\geq4$区域的浅红色区域)

![img](images/linear-programming3.png)

显而易见的，打了蓝色斜线的区域为三块区域的交集，这就是这个线性规划的所有可行解。因为题目中说明，需要最小化x和y，观察图像可知,点(2.3)为可行解中x和y最小的一个。因此，$x_{min}=2,y_{min}=3$

把求解线性规划的图解法总结起来，就是先在坐标系中作出所有的约束条件，然后作出需要求极值的线性函数的定义域。定义域与约束条件的交集就是这个线性规划的解集，而所需求的极值由观察可以轻易得出。

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