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给定一个自然数 $n$ ，将区间 $[l, r]$ 分成 $2n$ 个等长的区间 $x$ 。

$$x_i = l + i h, ~~ i = 0 \ldots 2n,$$

$$h = \frac {r-l} {2n}.$$

 $x_i = l + i h, ~~ i = 0 \ldots 2n,$  $h = \frac {r-l} {2n}.$ 

我们就可以计算每个小区间 $[x_ {2i-2}, x_ {2i}]$ , $i = 1\ldots n$ 的积分值，将所有区间的积分值相加即为总积分。

对于 $[x_ {2i-2}, x_ {2i}]$ , $i = 1\ldots n$ 的一个区间，选其中的三个点 $(x_ {2i-2}, x_ {2i-1}, x_ {2i})$ 就可以构成一条抛物线从而得到一个函数 $P(x)$ ，这个函数存在且唯一。计算原函数在该区间的积分值就变成了计算新的二次函数 $P(x)$ 在该段区间的积分值。这样我们就可以利用辛普森公式来近似计算它。

$$\int_{x_ {2i-2}} ^ {x_ {2i}} f (x) ~dx \approx \int_{x_ {2i-2}} ^ {x_ {2i}} P (x) ~dx = \left(f(x_{2i-2}) + 4f(x_{2i-1})+(f(x_{2i})\right)\frac {h} {3} $$

 $\int_{x_ {2i-2}} ^ {x_ {2i}} f (x) ~dx \approx \int_{x_ {2i-2}} ^ {x_ {2i}} P (x) ~dx = \left(f(x_{2i-2}) + 4f(x_{2i-1})+(f(x_{2i})\right)\frac {h} {3}$ 

将其分段求和即可得到如下结论：

$$\int_l ^ r f (x) dx \approx \left(f (x_0) + 4 f (x_1) + 2 f (x_2) + 4f(x_3) + 2 f(x_4) + \ldots + 4 f(x_{2N-1}) + f(x_{2N}) \right)\frac {h} {3} $$

 $\int_l ^ r f (x) dx \approx \left(f (x_0) + 4 f (x_1) + 2 f (x_2) + 4f(x_3) + 2 f(x_4) + \ldots + 4 f(x_{2N-1}) + f(x_{2N}) \right)\frac {h} {3}$ 

#### 误差

我们直接给出结论，普通辛普森法的误差为：

$$

-\tfrac{1}{90} \left(\tfrac{r-l}{2}\right)^5 f^{(4)}(\xi)

$$