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## 问题

给出一个图，问其中的有n个节点构成的边权和最小的环(n>=3)是多大。

### 暴力解法

设 $u$ 和 $v$ 之间有一条边长为 $w$ 的边， $dis(u,v)$ 表示删除 $u$ 和 $v$ 之间的连边之后， $u$ 和 $v$ 之间的最短路

那么最小环是 $dis(u,v)+w$ 

总时间复杂度 $O(n^2m)$ 。

### Dijkstra

枚举所有边，每一次求删除一条边之后对这条边的起点跑一次 Dijkstra ，道理同上

时间复杂度$O(m(n+m)logn)$

### Floyd

最小环是自己到自己的距离，所以我们强迫最短路出去跑一遍就行了

怎么强迫？

对于所有的i，使它自己到自己的距离为INF，也就是

```cpp

dis[i][i]=(1<<30);

```

然后利用floyd的性质，跑完之后对所以的dis[i][i]取min即可

## 例题

GDOI2018 Day2 巡逻

给出一张 $n$ 个点的无负权边无向图，要求执行 $Q$ 个操作，三种操作

1.删除一个图中的点以及与它有关的边

2.恢复一个被删除点以及与它有关的边

3.询问点 $x$ 所在的最小环大小

对于50%的数据，有N,Q <= 100

对于每一个点 x 所在的简单环，都存在两条与 x 相邻的边，删去其中的任意一条，简单环将变为简单路径。

那么枚举所有与 x 相邻的边，每次删去其中一条，然后跑一次dijkstra。

或者直接对每次询问跑一遍 Floyd 求最小环，$O(qn^3)$

对于100%的数据，有N,Q <= 400

还是利用 Floyd 求最小环的算法。

若没有删除，删去询问点将简单环裂开成为一条简单路。

然而第二步的求解改用 Floyd 来得出。

那么答案就是要求出不经过询问点 x 的情况下任意两点之间的距离。

怎么在线？

强行离线，利用离线的方法来避免删除操作。

将询问按照时间顺序排列，对这些询问建立一个线段树。

每个点的出现时间覆盖所有除去询问该点的时刻外的所有询问，假设一个点被询问 x 次，则它的出现时间可以视为 x + 1 段区间，插入到线段树上。

完成之后遍历一遍整棵线段树，在经过一个点时存储一个 Floyd 数组的备份，然后加入被插入在这个区间上的所有点，在离开时利用备份数组退回去即可。