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By [hsfzLZH1](https://github.com/hsfzLZH1)

## 经典题型

数位DP问题往往都是这样的题型，给定一个闭区间 $[l,r]$，让你求这个区间中满足 ** 某种条件 ** 的数的总数。

## 例题 [luogu P2657 [SCOI2009]windy数](https://www.luogu.org/problemnew/show/P2657)

题目大意：给定一个区间 $[l,r]$ ，求其中满足条件 ** 不含前导 $0$ 且相邻两个数字相差至少为 $2$ ** 的数字个数。

首先我们将问题转化成更加简单的形式。设 $ans_i$ 表示在区间 $[1,i]$ 中满足条件的数的数量，那么所求的答案就是 $ans_r-ans_{l-1}$。

分开求解这两个问题。

对于一个小于 $n$ 的数，它从高到低肯定出现某一位，使得这一位上的数值小于 $n$ 这一位上对应的数值。而之前的所有位都和 $n$ 上的位相等。

有了这个性质，我们可以定义 $f_{i,st,op}$ 表示当前将要考虑的是从高到低的第 $i$ 位，当前该前缀的状态为 $st$ 且前缀和当前求解的数字的大小关系是 $op$ （ $op=1$ 表示等于， $op=0$ 表示小于 ）时的数字个数。在本题中，这个前缀的状态就是上一位的值，因为当前将要确定的位不能取哪些数只和上一位有关。在其他题目中，这个值可以是：前缀的数字和，前缀所有数字的 $gcd$，该前缀取模某个数的余数，也有两种或多种合用的情况。

写出 ** 状态转移方程 ** ： $f_{i,st,op}=\sum_{i=1}^{maxx} f_{i+1,k,op \& (i=maxx)} (|st-k|\ge 2)$

这里的 $k$ 就是当前枚举的下一位的值，而 $maxx$ 就是当前能取到的最高位。因为如果 $op=1$ ，那么你在这一位上取的值一定不能大于求解的数字上该位的值，否则则没有i限制。

我们发现，尽管前缀所选择的状态不同，而 $f$ 的三个参数相同，答案就是一样的。为了防止这个答案被计算多次，可以使用记忆化搜索的方式实现。

核心代码：

```cpp

int dfs(int x,int st,int op)//op=1 =;op=0 <

{

    if(!x)return 1;

    if(!op&&~f[x][st])return f[x][st];

    int maxx=op?dim[x]:9,ret=0;

    for(int i=0;i<=maxx;i++)

    {

        if(abs(st-i)<2)continue;

        if(st==11&&i==0)ret+=dfs(x-1,11,op&(i==maxx));

        else ret+=dfs(x-1,i,op&(i==maxx));

    }

    if(!op)f[x][st]=ret;

    return ret;

}

int solve(int x)

{

    memset(f,-1,sizeof f);

    dim.clear();

    dim.push_back(-1);

    int t=x;

    while(x)

    {

        dim.push_back(x%10);

        x/=10;

    }

    return dfs(dim.size()-1,11,1);

}

```

##几道练习题

[bzoj 3679 数字之积 ](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3679)

[luogu P2602 [ZJOI2010] 数字计数 ](https://www.luogu.org/problemnew/show/P2602)

[luogu P4127 [AHOI2009] 同类分布 ](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4127)

[luogu  P3413 SAC#1 - 萌数](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3413)

[HDU 6148 Valley Number ](http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6148)

[CF55D Beautiful numbers](http://codeforces.com/problemset/problem/55/D)

[CF628D Magic Numbers](http://codeforces.com/problemset/problem/628/D)

[CF401D Roman and Numbers](http://codeforces.com/problemset/problem/401/D)