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算法竞赛的树和现实生活中的树长得一样，只不过我们习惯于处理问题的时候把树根放到上方来考虑。

图论中的树和现实生活中的树长得一样，只不过我们习惯于处理问题的时候把树根放到上方来考虑。这种数据结构看起来像是一个倒挂的树，因此得名。

这种数据结构看起来像是一个倒挂的树，因此得名。

一个没有固定根结点的树称为**无根树**（unrooted tree）。无根树有几种等价的形式化定义：

形式化的定义：

-   有 $n$ 个节点， $n-1$ 条边的连通无向图

-   有 $n$ 个结点， $n-1$ 条边的连通无向图

-   无向无环连通图

-   任意两个节点之间有且仅有一条简单路径的无向图

## 有关树的定义

### 森林

每个连通分量（连通块）都是树的图

### 生成树

一个图的生成子图，同时要求是树。

### 有根树

指定了一个点是根的树

### 无根树

没有指定一个根节点的树

-   任意两个结点之间有且仅有一条简单路径的无向图

### 深度

在无根树的基础上，指定一个结点称为**根**，则形成一棵**有根树**（rooted tree）。有根树在很多时候仍以无向图表示，只是规定了结点之间的上下级关系，详见下文。

#### 节点的深度

## 有关树的定义

到根节点的距离（最短路径的长度）

### 适用于无根树和有根树

#### 树的深度

-   **森林（forest）**：每个连通分量（连通块）都是树的图。按照定义，一棵树也是森林。

所有节点的深度的最大值

-   **生成树（spanning tree）**：一个连通无向图的生成子图，同时要求是树。也即在图的边集中选择 $n - 1$ 条，将所有顶点连通。

### 父亲

-   **结点的深度（depth）**：到根结点的路径上的边数。

一个节点到根节点的路径上的第二个节点

-   **树的高度（height）**：所有结点的深度的最大值。

### 祖先

-   **无根树的叶结点（leaf node）**：度数不超过 $1$ 的结点。

一个节点到根节点的路径上，除了它本身外的所有节点

???+question " 为什么不是度数恰为 $1$ ？"

    考虑 $n = 1$ 。

### 子节点

-   **有根树的叶结点（leaf node）**：没有子结点的结点。

如果 $u$ 是 $v$ 的父亲，那么 $v$ 是 $u$ 的子节点。

### 只适用于有根树

### 兄弟

-   **父亲（parent node）**：对于除根以外的每个结点，定义为从该结点到根路径上的第二个结点。

    根结点没有父结点。

同一个父亲的多个子节点互为兄弟

-   **祖先（ancestor）**：一个结点到根结点的路径上，除了它本身外的结点。

    根结点的祖先集合为空。

### 后代（子孙）

-   **子结点（child node）**：如果 $u$ 是 $v$ 的父亲，那么 $v$ 是 $u$ 的子结点。  

    子结点的顺序一般不加以区分，二叉树是一个例外。

子节点和子节点的后代

-   **兄弟（sibling）**：同一个父亲的多个子结点互为兄弟。

-   **后代（descendant）**：子结点和子结点的后代。  

    或者理解成：如果 $u$ 是 $v$ 的祖先，那么 $v$ 是 $u$ 的后代。

### 度数

#### 无根树

和一个点相关的边的个数

#### 有根树

-   **子树（subtree）**：删掉与父亲相连的边后，该结点所在的子图。

子节点个数

![tree-basic.png](images/tree-basic.png)

### 叶节点

#### 无根树

## 特殊的树

度数不超过 $1$ 的节点

-   **链（chain/path graph）**：满足与任一结点相连的边不超过 $2$ 条的树称为链。

??? question " 为什么不是度为 $1$ ？"

    考虑 $n = 1$ 的时候。

-   **菊花/星星（star）**：满足存在 $u$ 使得所有除 $u$ 以外结点均与 $u$ 相连的树称为菊花。

#### 有根树

-   **有根二叉树（rooted binary tree）**：每个结点最多只有两个儿子（子结点）的有根树称为二叉树。常常对两个子结点的顺序加以区分，分别称之为左子结点和右子结点。  

    大多数情况下，**二叉树**一词均指有根二叉树。

没有子节点（度数为 $0$ ）的节点

![tree-binary.png](images/tree-binary.png)

### 子树

-   **完整二叉树（full/proper binary tree）**：每个结点的子结点数量均为 0 或者 2 的二叉树。换言之，每个结点或者是树叶，或者左右子树均非空。

删掉与父亲相连的边后，该节点所在的子图

-   **完全二叉树（complete binary tree）**：只有最下面两层结点的度数可以小于 2，且最下面一层的结点都集中在该层最左边的连续位置上。

## 特殊的树

-   **完美二叉树（perfect binary tree）**：所有叶结点的深度均相同的二叉树称为完美二叉树。

### 只有一个节点

???+warning

    Proper binary tree 的汉译名称不固定，且完全二叉树和满二叉树的定义在不同教材中定义不同，遇到的时候需根据上下文加以判断。  

OIers 所说的“满二叉树”多指完美二叉树。

没有边

## 存储

 $n = 1, m = 0$ 

### 只记录父结点

### 链

用一个数组 `parent[N]` 记录每个结点的父亲结点。

点 $i$ 的父亲为 $i - 1$ 。

这种方式可以获得的信息较少，不便于进行自顶向下的遍历。常用于自底向上的递推问题中。

树的深度为 $n - i$ 。

### 邻接表

### 菊花

-   对于无根树：为每个结点开辟一个线性列表，记录所有与之相连的结点。

    ```cpp

    std::vector<int> adj[N];

    ```

-   对于有根树：

    -   方法一：若给定的是无向图，则仍可以上述形式存储。下文将介绍如何区分结点的上下关系。

    -   方法二：若输入数据能够确保结点的上下关系，则可以利用这个信息。为每个结点开辟一个线性列表，记录其所有子结点；若有需要，还可在另一个数组中记录其父结点。

        ```cpp

        std::vector<int> children[N];

        int parent[N];

        ```

        当然也可以用其他方式（如链表）替代 `std::vector` 。

### 左孩子右兄弟表示法

对于有根树，存在一种简单的表示方法。

首先，给每个结点的所有子结点任意确定一个顺序。

此后为每个结点记录两个值：其**第一个子结点** `child[u]` 和其**下一个兄弟结点** `sib[u]` 。若没有子结点，则 `child[u]` 为空；若该结点是其父结点的最后一个子结点，则 `sib[u]` 为空。

遍历一个结点的所有子结点可由如下方式实现。

```cpp

int v = child[u];  // 从第一个子结点开始

while (v != EMPTY_NODE) {

  // ...

  // 处理子结点 v

  // ...

  v = sib[v];  // 转至下一个子结点，即 v 的一个兄弟

}

```

也可简写为以下形式。

```cpp

for (int v = child[u]; v != EMPTY_NODE; v = sib[v]) {

  // ...

  // 处理子结点 v

  // ...

}

```

所有非根节点的父亲均为根节点。

### 二叉树

树的深度为 $1$ 。

需要记录每个结点的左右子结点。

### 二叉树

```cpp

int parent[N];

int lch[N], rch[N];

// -- or --

int child[N][2];

```

每个节点最多只有两个儿子（子节点）的树

## 树的遍历

#### 满二叉树

<!-- TODO: 将「图的遍历」一篇的树上 DFS 内容移到这里 -->

Full binary tree，每个节点度数为 0 或者 2。换言之，每个节点或者是树叶，或者左右子树均非空。

### 无根树

#### 完全二叉树

树的遍历一般为深度优先遍历，这个过程中最需要注意的是避免重复访问结点。

Complete binary tree，只有最下面两层节点的度数可以小于 2，且最下面一层的节点都集中在该层最左边的连续位置上。

由于树是无环图，因此只需记录当前结点是由哪个结点访问而来，此后进入除该结点外的所有相邻结点，即可避免重复访问。

## 如何存树

```cpp

void dfs(int u, int from) {

  // 递归进入除了 from 之外的所有子结点

  // 对于出发结点，from 为空，故会访问所有相邻结点，这与期望一致

  for (int v : adj[u])

    if (v != from) {

      dfs(v, u);

    }

}

### 存父亲

// 开始遍历时

int EMPTY_NODE = -1;  // 一个不存在的编号

int root = 0;         // 任取一个结点作为出发点

dfs(root, EMPTY_NODE);

```

用一个数组记录每个节点的父亲节点： `fa` 数组

### 有根树

### 邻接表

对于有根树，需要区分结点的上下关系。

当成图来存

考察上面的遍历过程，若从根开始遍历，则访问到一个结点时 `from` 的值，就是其父结点的编号。

有根树： `vector<int> childs[n], fa[n]` 

通过这个方式，可以对于无向的输入求出所有结点的父结点，以及子结点列表。

二叉树： `int lch[n], rch[n], fa[n]` 

<!-- TODO: 「图的遍历」中「二叉树」一节 -->