Loading docs/math/stirling.md +44 −33 Original line number Diff line number Diff line ## 第一类斯特林数（Stirling Number） 设有多项式 $x(x-1)(x-2) \cdots (x-n+1)$ ，它的展开式形如 $s_nx^n - s_{n-1}x^{n-1}+s_{n-2}x^{n-2}-\cdots$ 。 **第一类斯特林数** （斯特林轮换数） $\begin{bmatrix}n\\ k\end{bmatrix}$ 表示将 $n$ 个两两不同的元素，划分为 $k$ 个非空圆排列的方案数。 不考虑各项系数的符号，将 $x^r$ 的系数的绝对值记做 $s(n, r)$ ，称为第一类 Stirling 数。 ### 递推式 $s(n, r)$ 也是把 $n$ 个不同的球排成 $r$ 个非空循环排列的方法数。 $$ \begin{bmatrix}n\\ k\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n-1\\ k-1\end{bmatrix}+(n-1)\begin{bmatrix}n-1\\ k\end{bmatrix} $$ 关于第一类斯特林数的性质可以阅读 [Stirling Number of the First Kind](http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheFirstKind.html) 。 边界是 $\begin{bmatrix}n\\ 0\end{bmatrix}=[n=0]$ 。 ### 递推形式 该递推式的证明可以考虑其组合意义。 $$ s(n,r) = (n-1)s(n-1,r)+s(n-1,r-1),\ n > r \geq 1 $$ 我们插入一个新元素时，有两种方案： 考虑最后一个球，它可以单独构成一个非空循环排列，也可以插入到前面的某一个球的一侧。 - 将该新元素置于一个单独的圆排列中，共有 $\begin{bmatrix}n-1\\ k-1\end{bmatrix}$ 种方案； - 将该元素插入到任何一个现有的圆排列中，共有 $(n-1)\begin{bmatrix}n-1\\ k\end{bmatrix}$ 种方案。 若单独放，则有 $s(n-1,r-1)$ 种放法；若放在某个球的一侧，则有 $(n-1)s(n-1,r)$ 种放法。 根据加法原理，将两式相加即可得到递推式。 ## 第二类斯特林数（Stirling Number） 把 $n$ 个不同的球放到 $r$ 个相同的盒子里，假设没有空盒，则放球方案数记做 $S(n, r)$ ，称为第二类 Stirling 数。 **第二类斯特林数** （斯特林子集数） $\begin{Bmatrix}n\\ k\end{Bmatrix}$ 表示将 $n$ 个两两不同的元素，划分为 $k$ 个非空子集的方案数。 关于第二类斯特林数的性质可以阅读 [Stirling Number of the Second Kind](http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheSecondKind.html) 。 ### 递推形式 ### 递推式 $$ S(n,r) = r S(n-1,r) + S(n-1,r-1),\ n > r \geq 1 \begin{Bmatrix}n\\ k\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\ k-1\end{Bmatrix}+k\begin{Bmatrix}n-1\\ k\end{Bmatrix} $$ 考虑最后一个球，若它单独放一个盒子，有 $S(n-1,r-1)$ 种放法；若是和前面的某一个球放在同一个盒子里，则有 $r S(n-1,r)$ 种放法。 边界是 $\begin{Bmatrix}n\\ 0\end{Bmatrix}=[n=0]$ 。 ## 例题 还是考虑组合意义来证明。 （2007 普及）将 $n$ 个数 $（1，2，…，n）$ 分成 $r$ 个部分。每个部分至少一个数。将不同划分方法的总数记为 $S_n^r$ 。例如， $S_4^2=7$ ，这 7 种不同的划分方法依次为 $\{\ (1) , (234) \}\,\{\ (2) , (134) \}\,\{\ (3) , (124) \}\,\{\ (4) , (123) \}\,\{\ (12) , (34) \}\,\{\ (13) , (24) \}\,\{\ (14) , (23) \}$ 。当 $n=6，r=3$ 时， $S_6^3$ =（） 我们插入一个新元素时，有两种方案： > 提示：先固定一个数，对于其余的 5 个数考虑 $S_5^3$ 与 $S_5^2$ ，再分这两种情况对原固定的数进行分析。 - 将新元素单独放入一个子集，有 $\begin{Bmatrix}n-1\\ k-1\end{Bmatrix}$ 种方案； - 将新元素放入一个现有的非空子集，有 $k\begin{Bmatrix}n-1\\ k\end{Bmatrix}$ 种方案。 题解：在近几年算法竞赛中，递推算法越来越重要： 根据加法原理，将两式相加即可得到递推式。 $$ S_6^3=3 \times S_5^3 + S_5^2 $$ ## 应用 $$ S_5^3=3 \times S_4^3 + S_4^2 $$ ### 上升幂与普通幂的相互转化 我们记上升阶乘幂 $x^{\overline{n}}=\prod_{k=0}^{n-1} (x+k)$ 。 则可以利用下面的恒等式将上升幂转化为普通幂： $$ S_5^2=2 \times S_4^2 + S_4^1 x^{\overline{n}}=\sum_{k} \begin{bmatrix}n\\ k\end{bmatrix} x^k $$ 第二类 stirling 数，显然拥有这样的性质： 如果将普通幂转化为上升幂，则有下面的恒等式： $$ S_n^m = m \times S_{n-1}^{m} + S_{n-1}^{m-1} x^n=\sum_{k} \begin{Bmatrix}n\\ k\end{Bmatrix} (-1)^{n-k} x^{\overline{k}} $$ ### 下降幂与普通幂的相互转化 我们记下降阶乘幂 $x^{\underline{n}}=\dfrac{x!}{(x-n)!}=\prod_{k=0}^n-1 (x-k)$ 。 则可以利用下面的恒等式将普通幂转化为下降幂： $$ S_n^1 = 1,S_n^0 = 0,S_n^n = 1 x^n=\sum_{k} \begin{Bmatrix}n\\ k\end{Bmatrix} x^{\underline{k}} $$ 而这些性质就可以总结成： 如果将下降幂转化为普通幂，则有下面的恒等式： $$ S_n^3 = \frac{1}{2} \times (3^{n-1}+1) - 2^{n-1} x^{\underline{n}}=\sum_{k} \begin{bmatrix}n\\ k\end{bmatrix} (-1)^{n-k} x^k $$ ## 习题 [HDU3625](http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3625) [HDU3625 Examining the Rooms](http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3625) ## 参考资料与注释 1. [Stirling Number of the First Kind - Wolfram MathWorld](http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheFirstKind.html) 2. [Stirling Number of the Second Kind - Wolfram MathWorld](http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheSecondKind.html) Loading
docs/math/stirling.md +44 −33 Original line number Diff line number Diff line ## 第一类斯特林数（Stirling Number） 设有多项式 $x(x-1)(x-2) \cdots (x-n+1)$ ，它的展开式形如 $s_nx^n - s_{n-1}x^{n-1}+s_{n-2}x^{n-2}-\cdots$ 。 **第一类斯特林数** （斯特林轮换数） $\begin{bmatrix}n\\ k\end{bmatrix}$ 表示将 $n$ 个两两不同的元素，划分为 $k$ 个非空圆排列的方案数。 不考虑各项系数的符号，将 $x^r$ 的系数的绝对值记做 $s(n, r)$ ，称为第一类 Stirling 数。 ### 递推式 $s(n, r)$ 也是把 $n$ 个不同的球排成 $r$ 个非空循环排列的方法数。 $$ \begin{bmatrix}n\\ k\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n-1\\ k-1\end{bmatrix}+(n-1)\begin{bmatrix}n-1\\ k\end{bmatrix} $$ 关于第一类斯特林数的性质可以阅读 [Stirling Number of the First Kind](http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheFirstKind.html) 。 边界是 $\begin{bmatrix}n\\ 0\end{bmatrix}=[n=0]$ 。 ### 递推形式 该递推式的证明可以考虑其组合意义。 $$ s(n,r) = (n-1)s(n-1,r)+s(n-1,r-1),\ n > r \geq 1 $$ 我们插入一个新元素时，有两种方案： 考虑最后一个球，它可以单独构成一个非空循环排列，也可以插入到前面的某一个球的一侧。 - 将该新元素置于一个单独的圆排列中，共有 $\begin{bmatrix}n-1\\ k-1\end{bmatrix}$ 种方案； - 将该元素插入到任何一个现有的圆排列中，共有 $(n-1)\begin{bmatrix}n-1\\ k\end{bmatrix}$ 种方案。 若单独放，则有 $s(n-1,r-1)$ 种放法；若放在某个球的一侧，则有 $(n-1)s(n-1,r)$ 种放法。 根据加法原理，将两式相加即可得到递推式。 ## 第二类斯特林数（Stirling Number） 把 $n$ 个不同的球放到 $r$ 个相同的盒子里，假设没有空盒，则放球方案数记做 $S(n, r)$ ，称为第二类 Stirling 数。 **第二类斯特林数** （斯特林子集数） $\begin{Bmatrix}n\\ k\end{Bmatrix}$ 表示将 $n$ 个两两不同的元素，划分为 $k$ 个非空子集的方案数。 关于第二类斯特林数的性质可以阅读 [Stirling Number of the Second Kind](http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheSecondKind.html) 。 ### 递推形式 ### 递推式 $$ S(n,r) = r S(n-1,r) + S(n-1,r-1),\ n > r \geq 1 \begin{Bmatrix}n\\ k\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\ k-1\end{Bmatrix}+k\begin{Bmatrix}n-1\\ k\end{Bmatrix} $$ 考虑最后一个球，若它单独放一个盒子，有 $S(n-1,r-1)$ 种放法；若是和前面的某一个球放在同一个盒子里，则有 $r S(n-1,r)$ 种放法。 边界是 $\begin{Bmatrix}n\\ 0\end{Bmatrix}=[n=0]$ 。 ## 例题 还是考虑组合意义来证明。 （2007 普及）将 $n$ 个数 $（1，2，…，n）$ 分成 $r$ 个部分。每个部分至少一个数。将不同划分方法的总数记为 $S_n^r$ 。例如， $S_4^2=7$ ，这 7 种不同的划分方法依次为 $\{\ (1) , (234) \}\,\{\ (2) , (134) \}\,\{\ (3) , (124) \}\,\{\ (4) , (123) \}\,\{\ (12) , (34) \}\,\{\ (13) , (24) \}\,\{\ (14) , (23) \}$ 。当 $n=6，r=3$ 时， $S_6^3$ =（） 我们插入一个新元素时，有两种方案： > 提示：先固定一个数，对于其余的 5 个数考虑 $S_5^3$ 与 $S_5^2$ ，再分这两种情况对原固定的数进行分析。 - 将新元素单独放入一个子集，有 $\begin{Bmatrix}n-1\\ k-1\end{Bmatrix}$ 种方案； - 将新元素放入一个现有的非空子集，有 $k\begin{Bmatrix}n-1\\ k\end{Bmatrix}$ 种方案。 题解：在近几年算法竞赛中，递推算法越来越重要： 根据加法原理，将两式相加即可得到递推式。 $$ S_6^3=3 \times S_5^3 + S_5^2 $$ ## 应用 $$ S_5^3=3 \times S_4^3 + S_4^2 $$ ### 上升幂与普通幂的相互转化 我们记上升阶乘幂 $x^{\overline{n}}=\prod_{k=0}^{n-1} (x+k)$ 。 则可以利用下面的恒等式将上升幂转化为普通幂： $$ S_5^2=2 \times S_4^2 + S_4^1 x^{\overline{n}}=\sum_{k} \begin{bmatrix}n\\ k\end{bmatrix} x^k $$ 第二类 stirling 数，显然拥有这样的性质： 如果将普通幂转化为上升幂，则有下面的恒等式： $$ S_n^m = m \times S_{n-1}^{m} + S_{n-1}^{m-1} x^n=\sum_{k} \begin{Bmatrix}n\\ k\end{Bmatrix} (-1)^{n-k} x^{\overline{k}} $$ ### 下降幂与普通幂的相互转化 我们记下降阶乘幂 $x^{\underline{n}}=\dfrac{x!}{(x-n)!}=\prod_{k=0}^n-1 (x-k)$ 。 则可以利用下面的恒等式将普通幂转化为下降幂： $$ S_n^1 = 1,S_n^0 = 0,S_n^n = 1 x^n=\sum_{k} \begin{Bmatrix}n\\ k\end{Bmatrix} x^{\underline{k}} $$ 而这些性质就可以总结成： 如果将下降幂转化为普通幂，则有下面的恒等式： $$ S_n^3 = \frac{1}{2} \times (3^{n-1}+1) - 2^{n-1} x^{\underline{n}}=\sum_{k} \begin{bmatrix}n\\ k\end{bmatrix} (-1)^{n-k} x^k $$ ## 习题 [HDU3625](http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3625) [HDU3625 Examining the Rooms](http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3625) ## 参考资料与注释 1. [Stirling Number of the First Kind - Wolfram MathWorld](http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheFirstKind.html) 2. [Stirling Number of the Second Kind - Wolfram MathWorld](http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheSecondKind.html)
