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### 定义

 $\forall x,y \in \mathbb{N}_{+},\gcd(x,y)=1$ ， $f(1)=1$ 且都有 $f(xy)=f(x)f(y)$ ，则 $f(n)$ 为积性函数。

若函数 $f(n)$ 满足 $f(1)=1$ 且 $\forall x,y \in \mathbb{N}_{+},\gcd(x,y)=1$ 都有 $f(xy)=f(x)f(y)$ ，则 $f(n)$ 为积性函数。

 $\forall x,y \in \mathbb{N}_{+}$ ， $f(1)=1$ 且都有 $f(xy)=f(x)f(y)$ ，则 $f(n)$ 为完全积性函数。

若函数 $f(n)$ 满足 $f(1)=1$ 且 $\forall x,y \in \mathbb{N}_{+}$ 都有 $f(xy)=f(x)f(y)$ ，则 $f(n)$ 为完全积性函数。

### 性质

- 常数函数： $1(n)=1$ （完全积性）

- 除数函数： $\sigma_{k}(n)=\sum_{d\mid n}d^{k}$  $\sigma_{0}(n)$ 通常简记作 $\operatorname{d}(n)$ 或 $\tau(n)$ ， $\sigma_{1}(n)$ 通常简记作 $\sigma(n)$ 。

- 欧拉函数： $\varphi(n)=\sum_{i=1}^n [\gcd(i,n)=1]$ 

- 莫比乌斯函数： $\mu(n) = \begin{cases}1 & n=1 \\ 0 & \exists d>1:d^{2} \mid n \\ (-1)^{\omega(n)} & otherwise\end{cases}$ 其中 $\omega(n)$ 表示 $n$ 的本质不同质因子个数，是一个积性函数。

- 莫比乌斯函数： $\mu(n) = \begin{cases}1 & n=1 \\ 0 & \exists d>1:d^{2} \mid n \\ (-1)^{\omega(n)} & otherwise\end{cases}$ ，其中 $\omega(n)$ 表示 $n$ 的本质不同质因子个数，它也是一个积性函数。

* * *

- 交换律 $(f * g=g * f)$ ；

- 结合律 $(f * g) * h=f * (g * h)$ ；

- 分配率 $f * (g+h)=f * g+f * h$ ；

- 分配律 $f * (g+h)=f * g+f * h$ ；

-  $f*\varepsilon=f$ ，其中 $\varepsilon$ 为 Dirichlet 卷积的单位元（任何函数卷 $\varepsilon$ 都为其本身）

### 例子