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# [算法模板]整体二分

## 引子

很多题都可以用二分解决。但是如果我们对每个查询都直接二分，可能会收获一个 TLE 。这时候我们就会用到整体二分。整体二分的主体思路就是把多个查询一起解决。（所以这是一个离线算法）

在信息学竞赛中，有一部分题可以使用二分的办法来解决。但是当这种题目有多次询问且每次询问我们对每个查询都直接二分，可能会收获一个 TLE 。这时候我们就会用到整体二分。整体二分的主体思路就是把多个查询一起解决。（所以这是一个离线算法）

>所谓整体二分，需要数据结构题满足一下性质：

> 可以使用整体二分解决的题目需要满足以下性质：

>

> 1. 询问的答案具有可二分性

>

>

> 4. 贡献满足交换律，结合律，具有可加性

>

>5. 题目允许离线算法

> 5. 题目允许使用离线算法

>

>   ——许昊然《浅谈数据结构题几个非经典解法》

## 思路

定义$[l,r]$为答案的值域，$[L,R]$为答案的定义域。（也就是说这个答案是针对区间$[L,R]$的）

记 $[l,r]$ 为答案的值域，$[L,R]$ 为答案的定义域。（也就是说求答案时仅考虑下标在区间 $[L,R]$ 内的元素）

- 我们首先把所有操作**按顺序**存入一个结构体中。然后开始分治。

- 在每一层分治中，利用数据结构（一般是树状数组）统计当前查询的答案和mid之间的关系。

- 根据查询出来的关系将所有查询分为q1和q2（小于等于mid和大于mid）

- 将q1和q2重新组成新的查询序列q，分治。

- 当$l=r$时，找到答案，记录答案返回即可。

- 我们首先把所有操作**按顺序**存入数组中，然后开始分治。

- 在每一层分治中，利用数据结构（常见的是树状数组）统计当前查询的答案和 mid 之间的关系。

- 根据查询出来的答案和 mid 间的关系（小于等于 mid 和大于 mid）将当前处理的操作序列分为 q1 和 q2 两份，并分别递归处理。

- 当 $l=r$ 时，找到答案，记录答案并返回即可。

### 代码

[例题：ZOJ2112](<https://cn.vjudge.net/problem/ZOJ-2112>)

例题：[「ZOJ2112」](http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=2112)

??? " 例题参考代码 "

	```cpp

	#include<iostream>

	#include<cstdio>

	#include<algorithm>

	#include<cmath>

#define maxn (int)(7e4+1000)

#define inf (int)(1e9+1000)

using namespace std;

	const int maxn = (int)(7e4+1000);

	const int inf = (int)(1e9+1000);

	struct node{

		int val,x,y,k,pos,ty;

	}q[maxn],q1[maxn],q2[maxn];

			}

			return;

		}

	for(int i=L;i<=R;i++){//遍历所有询问

		if(q[i].ty){//为查询操作

			int tmp=query(q[i].y)-query(q[i].x-1);//小于等于mid，在[x,y]区间内的元素个数

			if(tmp>=q[i].k){//mid过大

		for(int i=L;i<=R;i++){ // 遍历下标在 [L, R] 区间内的所有询问

			if(q[i].ty){ // 若当前处理的操作为查询操作

				int tmp=query(q[i].y)-query(q[i].x-1); //值小于等于mid，且下标在[x,y]区间内的元素个数

				if(tmp>=q[i].k)//mid过大

					q1[++cnt1]=q[i];

			}

			else{

				q[i].k-=tmp;q2[++cnt2]=q[i];

			}

				else

					q[i].k-=tmp,q2[++cnt2]=q[i];

			}

			else{

				if(q[i].val<=mid){add(q[i].pos,q[i].k);q1[++cnt1]=q[i];}

			}

		}

		solve(-inf,inf,1,cnt);

	for(int i=1;i<=cntans;i++){

		for(int i=1;i<=cntans;i++)

			printf("%d\n",ans[i]);

	}

}

	int main(){

		scanf("%d",&t);

	while(t--){

		solve1();

	}

		while(t--) solve1();

		return 0;

	}