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# [算法模板]整体二分

## 引子

很多题都可以用二分解决。但是如果我们对每个查询都直接二分，可能会收获一个 TLE 。这时候我们就会用到整体二分。整体二分的主体思路就是把多个查询一起解决。（所以这是一个离线算法）

>所谓整体二分，需要数据结构题满足一下性质：

>

>1. 询问的答案具有可二分性

>

>2. **修改对判定答案的贡献互相独立**，修改之间互不影响效果

>

>3. 修改如果对判定答案有贡献，则贡献为一确定的与判定标准无关的值

>

>4. 贡献满足交换律，结合律，具有可加性

>

>5. 题目允许离线算法

>

>   ——许昊然《浅谈数据结构题几个非经典解法》

## 思路

定义$[l,r]$为答案的值域，$[L,R]$为答案的定义域。（也就是说这个答案是针对区间$[L,R]$的）

- 我们首先把所有操作**按顺序**存入一个结构体中。然后开始分治。

- 在每一层分治中，利用数据结构（一般是树状数组）统计当前查询的答案和mid之间的关系。

- 根据查询出来的关系将所有查询分为q1和q2（小于等于mid和大于mid）

- 将q1和q2重新组成新的查询序列q，分治。

- 当$l=r$时，找到答案，记录答案返回即可。

### 代码

[例题：ZOJ2112](<https://cn.vjudge.net/problem/ZOJ-2112>)

```cpp

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<cmath>

#define maxn (int)(7e4+1000)

#define inf (int)(1e9+1000)

using namespace std;

struct node{

	int val,x,y,k,pos,ty;

}q[maxn],q1[maxn],q2[maxn];

int n,m,a[maxn],t,cnt,c[maxn],ans[maxn];

void add(int pos,int x){

	for(;pos<=n;pos+=pos&-pos){

		c[pos]+=x;

	}

	return;

}

int query(int pos){

	int anstot=0;

	for(;pos>=1;pos-=pos&-pos){

		anstot+=c[pos];

	}

	return anstot;

}

void solve(int l,int r,int L,int R){

	if(l>r||L>R)return;

	int cnt1=0,cnt2=0,mid=(l+r)>>1;

	if(l==r){

		for(int i=L;i<=R;i++){

			if(q[i].ty){ans[q[i].pos]=l;}

		}

		return;

	}

	for(int i=L;i<=R;i++){//遍历所有询问

		if(q[i].ty){//为查询操作

			int tmp=query(q[i].y)-query(q[i].x-1);//小于等于mid，在[x,y]区间内的元素个数

			if(tmp>=q[i].k){//mid过大

				q1[++cnt1]=q[i];

			}

			else{

				q[i].k-=tmp;q2[++cnt2]=q[i];

			}

		}

		else{

			if(q[i].val<=mid){add(q[i].pos,q[i].k);q1[++cnt1]=q[i];}

			else q2[++cnt2]=q[i];

		}

	}

		for(int i=1;i<=cnt1;i++){if(!q1[i].ty)add(q1[i].pos,-q1[i].k);}

		for(int i=1;i<=cnt1;i++){q[L+i-1]=q1[i];}

		for(int i=1;i<=cnt2;i++){q[L+i-1+cnt1]=q2[i];}

		solve(l,mid,L,L+cnt1-1);solve(mid+1,r,L+cnt1,R);

}

void solve1(){

	int cnt=0,cntans=0,pos,x;

	scanf("%d%d",&n,&m);

	for(int i=1;i<=n;i++){

		scanf("%d",&a[i]);q[++cnt]=(node){a[i],0,0,1,i,0};

	}

	for(int i=1;i<=m;i++){

		int l,r,k;char s[5];scanf("%s",s);

		if(s[0]=='Q'){

			scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);q[++cnt]=(node){0,l,r,k,++cntans,1};

		}

		else{

			scanf("%d%d",&pos,&x);q[++cnt]=(node){a[pos],0,0,-1,pos,0};q[++cnt]=(node){a[pos]=x,0,0,1,pos,0};

		}

	}

	solve(-inf,inf,1,cnt);

	for(int i=1;i<=cntans;i++){

		printf("%d\n",ans[i]);

	}

}

int main(){

	scanf("%d",&t);

	while(t--){

		solve1();

	}

	return 0;

}

```