Loading docs/basic/greedy.md +56 −0 Original line number Diff line number Diff line Loading @@ -20,3 +20,59 @@ 1. 运用反证法，如果交换方案中任意两个元素/相邻的两个元素后，答案不会变得更好，那么可以发现目前的解已经是最优解了。 2. 运用归纳法，先手算得出边界情况（例如 $n = 1$）的最优解 $F_1$，然后再证明：对于每个 $n$，$F_{n+1}$ 都可以由 $F_{n}$ 推导出结果。 ## [排序法](https://goldimax.github.io/atricle.html?5b82a0a49f54540031c06bd8) 用排序法常见的情况是输入一个包含几个（一般一到两个）权值的数组，通过排序然后遍历模拟计算的方法求出最优值。 有些题的排序方法非常显然，如 [LG1209](https://www.luogu.org/problemnew/show/P1209) 就是将输入数组差分后排序模拟求值。 然而有些时候很难直接一下子看出排序方法，比如 [LG1080](https://www.luogu.org/problemnew/show/P1080) 就很容易凭直觉而错误地以 $a$ 或 $b$ 为关键字排序，过样例之后提交就发现 WA 了 QAQ。一个 ~~众所周知的~~ 常见办法就是尝试交换数组相邻的两个元素来**推导**出正确的排序方法。我们假设这题输入的俩个数用一个结构体来保存 ```c++ struct { int a, b; } v[n]; ``` 用 $m$ 表示 $i$ 前面所有的 $a$ 的乘积，那么第 $i$ 个大臣得到的奖赏就是 $$\frac{m} {v[i].b}$$ 第 $i + 1$ 个大臣得到的奖赏就是 $$\frac{m \cdot v[i].a} {v[i + 1].b}$$ 如果我们交换第 $i$ 个大臣与第 $i + 1$ 个大臣的位置，那么第 $i + 1$ 个大臣得到的奖赏就是 $$\frac{m} {v[i + 1].b}$$ 第 $i + 1$ 个大臣得到的奖励就是 $$\frac{m \cdot v[i + 1].a} {v[i].b}$$ 如果交前更优当且仅当 $$\max (\frac{m} {v[i].b}, \frac{m \times v[i].a} {v[i + 1].b}) < \max (\frac{m} {v[i + 1].b}, \frac{m \times v[i + 1].a} {v[i].b})$$ 提取出相同的 $m$ 并约分得到 $$\max(\frac{1} {v[i].b}, \frac{v[i].a} {v[i + 1].b}) < \max(\frac{1} {v[i + 1].b}, \frac{v[i + 1].a} {v[i].b})$$ 然后分式化成整式得到 $$\max(v[i + 1].b, v[i].a \times v[i].b) < \max(v[i].b, v[i + 1].a \times v[i + 1].b)$$ 于是我们就成功得到排序函数了！ ```c++ struct uv { int a, b; bool operator<(const uv &x) const { return max(x.b, a * b) < max(b, x.a * x.b); } }; ``` ~~看上去是不是很简单呢（这题高精度卡常……）~~ ，如果看懂了就可以尝试下一道类似的题 [LG2123](https://www.luogu.org/problemnew/show/P2123)（请不要翻题解……。 Loading
docs/basic/greedy.md +56 −0 Original line number Diff line number Diff line Loading @@ -20,3 +20,59 @@ 1. 运用反证法，如果交换方案中任意两个元素/相邻的两个元素后，答案不会变得更好，那么可以发现目前的解已经是最优解了。 2. 运用归纳法，先手算得出边界情况（例如 $n = 1$）的最优解 $F_1$，然后再证明：对于每个 $n$，$F_{n+1}$ 都可以由 $F_{n}$ 推导出结果。 ## [排序法](https://goldimax.github.io/atricle.html?5b82a0a49f54540031c06bd8) 用排序法常见的情况是输入一个包含几个（一般一到两个）权值的数组，通过排序然后遍历模拟计算的方法求出最优值。 有些题的排序方法非常显然，如 [LG1209](https://www.luogu.org/problemnew/show/P1209) 就是将输入数组差分后排序模拟求值。 然而有些时候很难直接一下子看出排序方法，比如 [LG1080](https://www.luogu.org/problemnew/show/P1080) 就很容易凭直觉而错误地以 $a$ 或 $b$ 为关键字排序，过样例之后提交就发现 WA 了 QAQ。一个 ~~众所周知的~~ 常见办法就是尝试交换数组相邻的两个元素来**推导**出正确的排序方法。我们假设这题输入的俩个数用一个结构体来保存 ```c++ struct { int a, b; } v[n]; ``` 用 $m$ 表示 $i$ 前面所有的 $a$ 的乘积，那么第 $i$ 个大臣得到的奖赏就是 $$\frac{m} {v[i].b}$$ 第 $i + 1$ 个大臣得到的奖赏就是 $$\frac{m \cdot v[i].a} {v[i + 1].b}$$ 如果我们交换第 $i$ 个大臣与第 $i + 1$ 个大臣的位置，那么第 $i + 1$ 个大臣得到的奖赏就是 $$\frac{m} {v[i + 1].b}$$ 第 $i + 1$ 个大臣得到的奖励就是 $$\frac{m \cdot v[i + 1].a} {v[i].b}$$ 如果交前更优当且仅当 $$\max (\frac{m} {v[i].b}, \frac{m \times v[i].a} {v[i + 1].b}) < \max (\frac{m} {v[i + 1].b}, \frac{m \times v[i + 1].a} {v[i].b})$$ 提取出相同的 $m$ 并约分得到 $$\max(\frac{1} {v[i].b}, \frac{v[i].a} {v[i + 1].b}) < \max(\frac{1} {v[i + 1].b}, \frac{v[i + 1].a} {v[i].b})$$ 然后分式化成整式得到 $$\max(v[i + 1].b, v[i].a \times v[i].b) < \max(v[i].b, v[i + 1].a \times v[i + 1].b)$$ 于是我们就成功得到排序函数了！ ```c++ struct uv { int a, b; bool operator<(const uv &x) const { return max(x.b, a * b) < max(b, x.a * x.b); } }; ``` ~~看上去是不是很简单呢（这题高精度卡常……）~~ ，如果看懂了就可以尝试下一道类似的题 [LG2123](https://www.luogu.org/problemnew/show/P2123)（请不要翻题解……。
