Loading docs/ds/splay.md +377 −0 Original line number Diff line number Diff line > 如何用 $\text{Splay}$ 维护二叉查找树。 --- # 简介 #   $\text{Splay}$ 是一种二叉查找树，它通过不断将某个节点旋转到根节点，使得整棵树仍然满足二叉查找树的性质，并且保持平衡而不至于退化为链。 --- # 结构 # ### 二叉查找树的性质 ###   首先肯定是一棵二叉树！   能够在这棵树上查找某个值的性质：左儿子的值 $<$ 根节点的值 $<$ 右儿子的值。 ### 节点维护信息 ### |$rt$|$tot$|$fa[i]$|$ch[i][0/1]$|$val[i]$|$cnt[i]$|$sz[i]$| |:----|:----|:----|:----|:----|:----|:----| |根节点编号|节点个数|父亲|左右儿子编号|节点权值|权值出现次数|子树大小| --- # 操作 # ### 基本操作 ### - $\text{maintain}(x)$：在改变节点位置前，将节点 $x$ 的 $\text{size}$ 更新。 - $\text{get}(x)$：判断节点 $x$ 是父亲节点的左儿子还是右儿子。 - $\text{clear}(x)$：销毁节点 $x$。 ```cpp void maintain(int x) { sz[x]=sz[ch[x][0]]+sz[ch[x][1]]+cnt[x]; } bool get(int x) { return x==ch[fa[x]][1]; } void clear(int x) { ch[x][0]=ch[x][1]=fa[x]=val[x]=sz[x]=cnt[x]=0; } ``` ### 旋转操作 ###   为了使 $\text{Splay}$ 保持平衡而进行旋转操作，旋转的本质是将某个节点上移一个位置。   **旋转需要保证**： - 整棵 $\text{Splay}$ 的中序遍历不变（不能破坏二叉查找树的性质）。 - 受影响的节点维护的信息依然正确有效。 - $root$ 必须指向旋转后的根节点。   在 $\text{Splay}$ 中旋转分为两种：左旋和右旋。    **具体分析旋转步骤**（假设需要旋转的节点为 $x$，其父亲为 $y$，以右旋为例） 1. 将 $y$ 的左儿子指向 $x$ 的右儿子，且 $x$ 的右儿子的父亲指向 $y$。 `ch[y][0]=ch[x][1]; fa[ch[x][1]]=y;` 2. 将 $x$ 的右儿子指向 $y$，且 $y$ 的父亲指向 $x$。 `ch[x][chk^1]=y; fa[y]=x;` 3. 如果原来的 $y$ 还有父亲 $z$，那么把 $z$ 的某个儿子（原来 $y$ 所在的儿子位置）指向 $x$，且 $x$ 的父亲指向 $z$。 `fa[x]=z; if(z) ch[z][y==ch[z][1]]=x;` ```cpp void rotate(int x) { int y=fa[x],z=fa[y],chk=get(x); ch[y][chk]=ch[x][chk^1]; fa[ch[x][chk^1]]=y; ch[x][chk^1]=y; fa[y]=x; fa[x]=z; if(z) ch[z][y==ch[z][1]]=x; maintain(x); maintain(y); } ``` ### Splay 操作 ###   $\text{Splay}$ 规定：每访问一个节点后都要强制将其旋转到根节点。此时旋转操作具体分为 $6$ 种情况讨论（其中 $x$ 为需要旋转到根的节点）  - 如果 $x$ 的父亲是根节点，直接将 $x$ 左旋或右旋（图 $1,2$）。 - 如果 $x$ 的父亲不是根节点，且 $x$ 和父亲的儿子类型相同，首先将其父亲左旋或右旋，然后将 $x$ 右旋或左旋（图 $3,4$）。 - 如果 $x$ 的父亲不是根节点，且 $x$ 和父亲的儿子类型不同，将 $x$ 左旋再右旋、或者右旋再左旋（图 $5,6$）。   分析起来一大串，其实代码一小段。大家可以自己模拟一下 $6$ 种旋转情况，就能理解 $\text{Splay}$ 的基本思想了。 ```cpp void splay(int x) { for(int f=fa[x];f=fa[x],f;rotate(x)) if(fa[f]) rotate(get(x)==get(f)?f:x); rt=x; } ``` ### 插入操作 ###   插入操作是一个比较复杂的过程，具体步骤如下（插入的值为 $k$）： - 如果树空了则直接插入根并退出。 - 如果当前节点的权值等于 $k$ 则增加当前节点的大小并更新节点和父亲的信息，将当前节点进行 $\text{Splay}$ 操作。 - 否则按照二叉查找树的性质向下找，找到空节点就插入即可（当然别忘了 $\text{Splay}$ 操作哦）。 ```cpp void ins(int k) { if(!rt) { val[++tot]=k; cnt[tot]++; rt=tot; maintain(rt); return; } int cnr=rt,f=0; while(1) { if(val[cnr]==k) { cnt[cnr]++; maintain(cnr); maintain(f); splay(cnr); break; } f=cnr; cnr=ch[cnr][val[cnr]<k]; if(!cnr) { val[++tot]=k; cnt[tot]++; fa[tot]=f; ch[f][val[f]<k]=tot; maintain(tot); maintain(f); splay(tot); break; } } } ``` ### 查询 x 的排名 ###   根据二叉查找树的定义和性质，显然可以按照以下步骤查询 $x$ 的排名： - 如果 $x$ 比当前节点的权值小，向其左子树查找。 - 如果 $x$ 比当前节点的权值大，将答案加上左子树（$size$）和当前节点（$cnt$）的大小，向其右子树查找。 - 如果 $x$ 与当前节点的权值相同，将答案加 $1$ 并返回。 注意最后需要进行 $\text{Splay}$ 操作。 ```cpp int rk(int k) { int res=0,cnr=rt; while(1) { if(k<val[cnr]) { cnr=ch[cnr][0]; } else { res+=sz[ch[cnr][0]]; if(k==val[cnr]) { splay(cnr); return res+1; } res+=cnt[cnr]; cnr=ch[cnr][1]; } } } ``` ### 查询排名 x 的数 ###   设 $k$ 为剩余排名，具体步骤如下： - 如果左子树非空且剩余排名 $k$ 不大于左子树的大小 $size$，那么向左子树查找。 - 否则将 $k$ 减去左子树的和根的大小。如果此时 $k$ 的值小于等于 $0$，则返回根节点的权值，否则继续向右子树查找。 ```cpp int kth(int k) { int cnr=rt; while(1) { if(ch[cnr][0]&&k<=sz[ch[cnr][0]]) { cnr=ch[cnr][0]; } else { k-=cnt[cnr]+sz[ch[cnr][0]]; if(k<=0) return val[cnr]; cnr=ch[cnr][1]; } } } ``` ### 查询前驱 ###   前驱定义为小于 $x$ 的最大的数，那么查询前驱可以转化为：将 $x$ 插入（此时 $x$ 已经在根的位置了），前驱即为 $x$ 的左子树中最右边的节点，最后将 $x$ 删除即可。 ```cpp int pre() { int cnr=ch[rt][0]; while(ch[cnr][1]) cnr=ch[cnr][1]; return cnr; } ``` ### 查询后继 ###   后继定义为大于 $x$ 的最小的数，查询方法和前驱类似：$x$ 的右子树中最左边的节点。 ```cpp int nxt() { int cnr=ch[rt][1]; while(ch[cnr][0]) cnr=ch[cnr][0]; return cnr; } ``` ### 删除操作 ###   删除操作也是一个比较复杂的操作，具体步骤如下： - 首先将 $x$ 旋转到根的位置。 - 接下来分为多个情况考虑： 1. 如果有不止一个 $x$，那么将 $cnt[x]$ 减 $1$ 并退出。 2. 如果 $x$ 没有儿子节点，那么直接将当前节点 $\text{clear}$ 并退出。 3. 如果 $x$ 只有一个儿子，那么先将当前节点 $\text{clear}$ 再把唯一的儿子作为根节点。 4. 否则将 $x$ 的前驱旋转到根并作为根节点，将 $x$ 的右子树接到根节点的右子树上，最后要将根的信息更新。 ```cpp void del(int k) { rk(k); if(cnt[rt]>1) {cnt[rt]--;maintain(rt);return;} if(!ch[rt][0]&&!ch[rt][1]) {clear(rt);rt=0;return;} if(!ch[rt][0]) {int cnr=rt;rt=ch[rt][1];fa[rt]=0;clear(cnr);return;} if(!ch[rt][1]) {int cnr=rt;rt=ch[rt][0];fa[rt]=0;clear(cnr);return;} int x=pre(),cnr=rt; splay(x); fa[ch[cnr][1]]=x; ch[x][1]=ch[cnr][1]; clear(cnr); maintain(rt); } ``` --- # 完整代码 # ```cpp #include<cstdio> const int N=100005; int rt,tot,fa[N],ch[N][2],val[N],cnt[N],sz[N]; struct Splay { void maintain(int x) { sz[x]=sz[ch[x][0]]+sz[ch[x][1]]+cnt[x]; } bool get(int x) { return x==ch[fa[x]][1]; } void clear(int x) { ch[x][0]=ch[x][1]=fa[x]=val[x]=sz[x]=cnt[x]=0; } void rotate(int x) { int y=fa[x],z=fa[y],chk=get(x); ch[y][chk]=ch[x][chk^1]; fa[ch[x][chk^1]]=y; ch[x][chk^1]=y; fa[y]=x; fa[x]=z; if(z) ch[z][y==ch[z][1]]=x; maintain(x); maintain(y); } void splay(int x) { for(int f=fa[x];f=fa[x],f;rotate(x)) if(fa[f]) rotate(get(x)==get(f)?f:x); rt=x; } void ins(int k) { if(!rt) { val[++tot]=k; cnt[tot]++; rt=tot; maintain(rt); return; } int cnr=rt,f=0; while(1) { if(val[cnr]==k) { cnt[cnr]++; maintain(cnr); maintain(f); splay(cnr); break; } f=cnr; cnr=ch[cnr][val[cnr]<k]; if(!cnr) { val[++tot]=k; cnt[tot]++; fa[tot]=f; ch[f][val[f]<k]=tot; maintain(tot); maintain(f); splay(tot); break; } } } int rk(int k) { int res=0,cnr=rt; while(1) { if(k<val[cnr]) { cnr=ch[cnr][0]; } else { res+=sz[ch[cnr][0]]; if(k==val[cnr]) { splay(cnr); return res+1; } res+=cnt[cnr]; cnr=ch[cnr][1]; } } } int kth(int k) { int cnr=rt; while(1) { if(ch[cnr][0]&&k<=sz[ch[cnr][0]]) { cnr=ch[cnr][0]; } else { k-=cnt[cnr]+sz[ch[cnr][0]]; if(k<=0) return val[cnr]; cnr=ch[cnr][1]; } } } int pre() { int cnr=ch[rt][0]; while(ch[cnr][1]) cnr=ch[cnr][1]; return cnr; } int nxt() { int cnr=ch[rt][1]; while(ch[cnr][0]) cnr=ch[cnr][0]; return cnr; } void del(int k) { rk(k); if(cnt[rt]>1) {cnt[rt]--;maintain(rt);return;} if(!ch[rt][0]&&!ch[rt][1]) {clear(rt);rt=0;return;} if(!ch[rt][0]) {int cnr=rt;rt=ch[rt][1];fa[rt]=0;clear(cnr);return;} if(!ch[rt][1]) {int cnr=rt;rt=ch[rt][0];fa[rt]=0;clear(cnr);return;} int x=pre(),cnr=rt; splay(x); fa[ch[cnr][1]]=x; ch[x][1]=ch[cnr][1]; clear(cnr); maintain(rt); } }tree; int main() { int n,opt,x; for(scanf("%d",&n);n;--n) { scanf("%d%d",&opt,&x); if(opt==1) tree.ins(x); else if(opt==2) tree.del(x); else if(opt==3) printf("%d\n",tree.rk(x)); else if(opt==4) printf("%d\n",tree.kth(x)); else if(opt==5) tree.ins(x),printf("%d\n",val[tree.pre()]),tree.del(x); else tree.ins(x),printf("%d\n",val[tree.nxt()]),tree.del(x); } return 0; } ``` --- # 例题 # 以下题目都是裸的 $\text{Splay}$ 维护二叉查找树。~~（直接套板子即可）~~ - [【模板】普通平衡树](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3369) - [[HNOI2002]营业额统计](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1588) - [[HNOI2004]宠物收养所](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1208) --- > 本文部分内容引用于 [algocode 算法博客](https://algocode.net)，特别鸣谢！ Loading
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fa[ch[x][1]]=y;` 2. 将 $x$ 的右儿子指向 $y$，且 $y$ 的父亲指向 $x$。 `ch[x][chk^1]=y; fa[y]=x;` 3. 如果原来的 $y$ 还有父亲 $z$，那么把 $z$ 的某个儿子（原来 $y$ 所在的儿子位置）指向 $x$，且 $x$ 的父亲指向 $z$。 `fa[x]=z; if(z) ch[z][y==ch[z][1]]=x;` ```cpp void rotate(int x) { int y=fa[x],z=fa[y],chk=get(x); ch[y][chk]=ch[x][chk^1]; fa[ch[x][chk^1]]=y; ch[x][chk^1]=y; fa[y]=x; fa[x]=z; if(z) ch[z][y==ch[z][1]]=x; maintain(x); maintain(y); } ``` ### Splay 操作 ###   $\text{Splay}$ 规定：每访问一个节点后都要强制将其旋转到根节点。此时旋转操作具体分为 $6$ 种情况讨论（其中 $x$ 为需要旋转到根的节点）  - 如果 $x$ 的父亲是根节点，直接将 $x$ 左旋或右旋（图 $1,2$）。 - 如果 $x$ 的父亲不是根节点，且 $x$ 和父亲的儿子类型相同，首先将其父亲左旋或右旋，然后将 $x$ 右旋或左旋（图 $3,4$）。 - 如果 $x$ 的父亲不是根节点，且 $x$ 和父亲的儿子类型不同，将 $x$ 左旋再右旋、或者右旋再左旋（图 $5,6$）。   分析起来一大串，其实代码一小段。大家可以自己模拟一下 $6$ 种旋转情况，就能理解 $\text{Splay}$ 的基本思想了。 ```cpp void splay(int x) { for(int f=fa[x];f=fa[x],f;rotate(x)) if(fa[f]) rotate(get(x)==get(f)?f:x); rt=x; } ``` ### 插入操作 ###   插入操作是一个比较复杂的过程，具体步骤如下（插入的值为 $k$）： - 如果树空了则直接插入根并退出。 - 如果当前节点的权值等于 $k$ 则增加当前节点的大小并更新节点和父亲的信息，将当前节点进行 $\text{Splay}$ 操作。 - 否则按照二叉查找树的性质向下找，找到空节点就插入即可（当然别忘了 $\text{Splay}$ 操作哦）。 ```cpp void ins(int k) { if(!rt) { val[++tot]=k; cnt[tot]++; rt=tot; maintain(rt); return; } int cnr=rt,f=0; while(1) { if(val[cnr]==k) { cnt[cnr]++; maintain(cnr); maintain(f); splay(cnr); break; } f=cnr; cnr=ch[cnr][val[cnr]<k]; if(!cnr) { val[++tot]=k; cnt[tot]++; fa[tot]=f; ch[f][val[f]<k]=tot; maintain(tot); maintain(f); splay(tot); break; } } } ``` ### 查询 x 的排名 ###   根据二叉查找树的定义和性质，显然可以按照以下步骤查询 $x$ 的排名： - 如果 $x$ 比当前节点的权值小，向其左子树查找。 - 如果 $x$ 比当前节点的权值大，将答案加上左子树（$size$）和当前节点（$cnt$）的大小，向其右子树查找。 - 如果 $x$ 与当前节点的权值相同，将答案加 $1$ 并返回。 注意最后需要进行 $\text{Splay}$ 操作。 ```cpp int rk(int k) { int res=0,cnr=rt; while(1) { if(k<val[cnr]) { cnr=ch[cnr][0]; } else { res+=sz[ch[cnr][0]]; if(k==val[cnr]) { splay(cnr); return res+1; } res+=cnt[cnr]; cnr=ch[cnr][1]; } } } ``` ### 查询排名 x 的数 ###   设 $k$ 为剩余排名，具体步骤如下： - 如果左子树非空且剩余排名 $k$ 不大于左子树的大小 $size$，那么向左子树查找。 - 否则将 $k$ 减去左子树的和根的大小。如果此时 $k$ 的值小于等于 $0$，则返回根节点的权值，否则继续向右子树查找。 ```cpp int kth(int k) { int cnr=rt; while(1) { if(ch[cnr][0]&&k<=sz[ch[cnr][0]]) { cnr=ch[cnr][0]; } else { k-=cnt[cnr]+sz[ch[cnr][0]]; if(k<=0) return val[cnr]; cnr=ch[cnr][1]; } } } ``` ### 查询前驱 ###   前驱定义为小于 $x$ 的最大的数，那么查询前驱可以转化为：将 $x$ 插入（此时 $x$ 已经在根的位置了），前驱即为 $x$ 的左子树中最右边的节点，最后将 $x$ 删除即可。 ```cpp int pre() { int cnr=ch[rt][0]; while(ch[cnr][1]) cnr=ch[cnr][1]; return cnr; } ``` ### 查询后继 ###   后继定义为大于 $x$ 的最小的数，查询方法和前驱类似：$x$ 的右子树中最左边的节点。 ```cpp int nxt() { int cnr=ch[rt][1]; while(ch[cnr][0]) cnr=ch[cnr][0]; return cnr; } ``` ### 删除操作 ###   删除操作也是一个比较复杂的操作，具体步骤如下： - 首先将 $x$ 旋转到根的位置。 - 接下来分为多个情况考虑： 1. 如果有不止一个 $x$，那么将 $cnt[x]$ 减 $1$ 并退出。 2. 如果 $x$ 没有儿子节点，那么直接将当前节点 $\text{clear}$ 并退出。 3. 如果 $x$ 只有一个儿子，那么先将当前节点 $\text{clear}$ 再把唯一的儿子作为根节点。 4. 否则将 $x$ 的前驱旋转到根并作为根节点，将 $x$ 的右子树接到根节点的右子树上，最后要将根的信息更新。 ```cpp void del(int k) { rk(k); if(cnt[rt]>1) {cnt[rt]--;maintain(rt);return;} if(!ch[rt][0]&&!ch[rt][1]) {clear(rt);rt=0;return;} if(!ch[rt][0]) {int cnr=rt;rt=ch[rt][1];fa[rt]=0;clear(cnr);return;} if(!ch[rt][1]) {int cnr=rt;rt=ch[rt][0];fa[rt]=0;clear(cnr);return;} int x=pre(),cnr=rt; splay(x); fa[ch[cnr][1]]=x; ch[x][1]=ch[cnr][1]; clear(cnr); maintain(rt); } ``` --- # 完整代码 # ```cpp #include<cstdio> const int N=100005; int rt,tot,fa[N],ch[N][2],val[N],cnt[N],sz[N]; struct Splay { void maintain(int x) { sz[x]=sz[ch[x][0]]+sz[ch[x][1]]+cnt[x]; } bool get(int x) { return x==ch[fa[x]][1]; } void clear(int x) { ch[x][0]=ch[x][1]=fa[x]=val[x]=sz[x]=cnt[x]=0; } void rotate(int x) { int y=fa[x],z=fa[y],chk=get(x); ch[y][chk]=ch[x][chk^1]; fa[ch[x][chk^1]]=y; ch[x][chk^1]=y; fa[y]=x; fa[x]=z; if(z) ch[z][y==ch[z][1]]=x; maintain(x); maintain(y); } void splay(int x) { for(int f=fa[x];f=fa[x],f;rotate(x)) if(fa[f]) rotate(get(x)==get(f)?f:x); rt=x; } void ins(int k) { if(!rt) { val[++tot]=k; cnt[tot]++; rt=tot; maintain(rt); return; } int cnr=rt,f=0; while(1) { if(val[cnr]==k) { cnt[cnr]++; maintain(cnr); maintain(f); splay(cnr); break; } f=cnr; cnr=ch[cnr][val[cnr]<k]; if(!cnr) { val[++tot]=k; cnt[tot]++; fa[tot]=f; ch[f][val[f]<k]=tot; maintain(tot); maintain(f); splay(tot); break; } } } int rk(int k) { int res=0,cnr=rt; while(1) { if(k<val[cnr]) { cnr=ch[cnr][0]; } else { res+=sz[ch[cnr][0]]; if(k==val[cnr]) { splay(cnr); return res+1; } res+=cnt[cnr]; cnr=ch[cnr][1]; } } } int kth(int k) { int cnr=rt; while(1) { if(ch[cnr][0]&&k<=sz[ch[cnr][0]]) { cnr=ch[cnr][0]; } else { k-=cnt[cnr]+sz[ch[cnr][0]]; if(k<=0) return val[cnr]; cnr=ch[cnr][1]; } } } int pre() { int cnr=ch[rt][0]; while(ch[cnr][1]) cnr=ch[cnr][1]; return cnr; } int nxt() { int cnr=ch[rt][1]; while(ch[cnr][0]) cnr=ch[cnr][0]; return cnr; } void del(int k) { rk(k); if(cnt[rt]>1) {cnt[rt]--;maintain(rt);return;} if(!ch[rt][0]&&!ch[rt][1]) {clear(rt);rt=0;return;} if(!ch[rt][0]) {int cnr=rt;rt=ch[rt][1];fa[rt]=0;clear(cnr);return;} if(!ch[rt][1]) {int cnr=rt;rt=ch[rt][0];fa[rt]=0;clear(cnr);return;} int x=pre(),cnr=rt; splay(x); fa[ch[cnr][1]]=x; ch[x][1]=ch[cnr][1]; clear(cnr); maintain(rt); } }tree; int main() { int n,opt,x; for(scanf("%d",&n);n;--n) { scanf("%d%d",&opt,&x); if(opt==1) tree.ins(x); else if(opt==2) tree.del(x); else if(opt==3) printf("%d\n",tree.rk(x)); else if(opt==4) printf("%d\n",tree.kth(x)); else if(opt==5) tree.ins(x),printf("%d\n",val[tree.pre()]),tree.del(x); else tree.ins(x),printf("%d\n",val[tree.nxt()]),tree.del(x); } return 0; } ``` --- # 例题 # 以下题目都是裸的 $\text{Splay}$ 维护二叉查找树。~~（直接套板子即可）~~ - [【模板】普通平衡树](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3369) - [[HNOI2002]营业额统计](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1588) - [[HNOI2004]宠物收养所](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1208) --- > 本文部分内容引用于 [algocode 算法博客](https://algocode.net)，特别鸣谢！
