Merge pull request #219 from Siej/patch-1

** 替罪羊树 ** 是一种依靠重构操作维持平衡的重量平衡树。替罪羊树会在插入、删除操作时，检测途经的节点，若发现失衡，则将以该节点为根的子树重构。

我们在此实现一个可重的权值平衡树。

``` cpp

int cnt, // 树中元素总数

  rt, // 根节点，初值为 0 代表空树

  w[MAXN], // 点中的数据 / 权值

 lc[MAXN], rc[MAXN], // 左右子树

 wn[MAXN], // 本数据出现次数（为 0 代表已删除）

  s[MAXN], // 以本节点为根的子树大小

 sd[MAXN]; // 已删除节点不计的子树大小

void Calc(int k) {

// 重新计算以 k 为根的子树大小

 s[k] = s[lc[k]] + s[rc[k]] + wn[k];

 sd[k] = sd[lc[k]] + sd[rc[k]] + wn[k];

}

```

## 重构

首先，如前所述，我们需要判定一个节点是否应重构。为此我们引入一个比例常数 $\alpha$（取值在 $(0.5,1)$，一般采用 $0.7$ 或 $0.8$），若某节点的子节点大小占它本身大小的比例超过 $\alpha$，则重构。

另外由于我们采用惰性删除（删除只使用 `wn[k]--`），已删除节点过多也影响效率。因此若未被删除的子树大小占总大小的比例低于 $\alpha$，则亦重构。

``` cpp

inline bool CanRbu(int k) {

// 判断节点 k 是否需要重构

 return wn[k] && (alpha * s[k] <= (double)std::max(s[lc[k]], s[rc[k]])

  || (double)sd[k] <= alpha * s[k]);

}

```

重构分为两个步骤——先前序遍历展开存入数组，再二分重建成树。

``` cpp

void Rbu_Flatten(int& ldc, int k) {

// 前序遍历展开以 k 节点为根子树

 if(!k) return;

 Rbu_Flatten(ldc, lc[k]);

 if(wn[k]) ldr[ldc++] = k;

// 若当前节点已删除则不保留

 Rbu_Flatten(ldc, rc[k]);

}

int Rbu_Build(int l, int r) {

// 将 ldr[] 数组内 [l, r) 区间重建成树，返回根节点

 int mid = l + r >> 1; // 选取中间为根使其平衡

 if(l >= r) return 0;

 lc[ldr[mid]] = Rbu_Build(l, mid);

 rc[ldr[mid]] = Rbu_Build(mid + 1, r); // 建左右子树

 Calc(ldr[mid]);

 return ldr[mid];

}

void Rbu(int& k) {

// 重构节点 k 的全过程

 int ldc = 0;

 Rbu_Flatten(ldc, k);

 k = Rbu_Build(0, ldc);

}

```

## 基本操作

几种操作的处理方式较为类似，都规定了 ** 到达空结点 ** 与 ** 找到对应结点 ** 的行为，之后按 ** 小于向左、大于向右 ** 的方式向下递归。

### 插入

插入时，到达空结点则新建节点，找到对应结点则 `wn[k]++`。递归结束后，途经的节点可重构的要重构。

``` cpp

void Ins(int& k, int p) {

// 在以 k 为根的子树内添加权值为 p 节点

 if(!k) { k = ++cnt; if(!rt) rt = 1;

  w[k] = p; lc[k] = rc[k] = 0; wn[k] = s[k] = sd[k] = 1;

 } else {

  if(w[k] == p) wn[k]++;

  else if(w[k] < p) Ins(rc[k], p);

  else Ins(lc[k], p);

  Calc(k); if(CanRbu(k)) Rbu(k);

 }

}

```

### 删除

惰性删除，到达空结点则忽略，找到对应结点则 `wn[k]--`。递归结束后，可重构节点要重构。

``` cpp

void Del(int& k, int p) {

// 从以 k 为根子树移除权值为 p 节点

 if(!k) return; else {

  sd[k]--; if(w[k] == p) { if(wn[k]) wn[k]--; }

   else {

    if(w[k] < p) Del(rc[k], p);

    else Del(lc[k], p);

    Calc(k);

   }

 }

 if(CanRbu(k)) Rbu(k);

}

```

### upper_bound

返回权值严格大于某值的最小名次。

到达空结点则返回 1，因为只有该子树左边的数均小于查找数才会递归至此。找到对应结点，则返回该节点所占据的最后一个名次 + 1。

``` cpp

int MyUprBd(int k, int p) {

// 在以 k 为根子树中，大于 p 的最小数的名次

 if(!k) return 1;

 else if(w[k] == p && wn[k]) return sd[lc[k]] + 1 + wn[k];

 else if(p < w[k]) return MyUprBd(lc[k], p);

 else return sd[lc[k]] + wn[k] + MyUprBd(rc[k], p);

}

```

以下是反义函数，相当于采用 `std::greater<>` 比较，即返回权值严格小于某值的最大名次。查询一个数的排名可以用 `MyUprGrt(rt, x) + 1`。

``` cpp

int MyUprGrt(int k, int p) {

 if(!k) return 0;

 else if(w[k] == p && wn[k]) return sd[lc[k]];

 else if(w[k] < p) return sd[lc[k]] + wn[k] + MyUprGrt(rc[k], p);

 else return MyUprGrt(lc[k], p);

}

```

### at

给定名次，返回该名次上的权值。到达空结点说明无此名次，找到对应结点则返回其权值。

``` cpp

int MyAt(int k, int p) {

// 以 k 为根的子树中，名次为 p 的权值

 if(!k) return 0;

 else if(sd[lc[k]] < p && p <= sd[lc[k]] + wn[k]) return w[k];

 else if(sd[lc[k]] + wn[k] < p) return MyAt(rc[k], p - sd[lc[k]] - wn[k]);

 else return MyAt(lc[k], p);

}

```

### 前驱后继

以上两种功能结合即可。

``` cpp

inline int  MyPre(int k, int p) { return MyAt(k, MyUprGrt(k, p)); }

inline int MyPost(int k, int p) { return MyAt(k, MyUprBd (k, p)); }

```