feat(graph): update concept

本页面概述了图论中的一些概念，这些概念并不全是在 OI 中常见的，对于 OIer 来说，只需掌握本页面中的基础部分即可，如果在学习中碰到了不懂的概念，可以再来查阅。

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    图论相关定义在不同教材中往往会有所不同，遇到的时候需根据上下文加以判断。比如 Wikipedia 上也有一些自我矛盾、有向图无向图不分、默认简单图而不强调的地方，

    图论相关定义在不同教材中往往会有所不同，遇到的时候需根据上下文加以判断。

## 图

对于图 $G=(V, E)$ ，若 $V'\subseteq V$ 且 $\forall e\in E$ 满足 $e$ 的至少一个端点在 $V'$ 中，则称 $V'$ 是图 $G$ 的一个 **点覆盖 (Vertex cover)** 。

点覆盖集必为支配集，但极小点覆盖集不一定是极小支配集。

一个点集是点覆盖的充要条件是其补集是独立集，因此最小点覆盖的补集是最大独立集。求一张图的最小点覆盖是 NP 困难的。

一张图的任何一个匹配的大小都不超过其任何一个点覆盖的大小。完全二分图 $K_{n, m}$ 的最大匹配和最小点覆盖大小都为 $\min(n, m)$ 。

### 边覆盖

对于图 $G=(V, E)$ ，若 $E'\subseteq E$ 且 $\forall v\in V$ 满足 $v$ 与 $E'$ 中的至少一条边相邻，则称 $E'$ 是图 $G$ 的一个 **边覆盖 (Edge cover)** 。

最小边覆盖的大小记作 $\rho(G)$ ，可以由最大匹配贪心扩展求得。特别地，完美匹配一定是一个最小边覆盖。对于图 $G$ ，其最大匹配的大小不超过最小边覆盖的大小，即 $\nu(G)\le\rho(G)$ 。

最小边覆盖的大小记作 $\rho(G)$ ，可以由最大匹配贪心扩展求得：对于所有非匹配点，将其一条邻边加入最大匹配中，即得到了一个最小边覆盖。

最大匹配也可以由最小边覆盖求得：对于最小边覆盖中每对有公共点的边删去其中一条。

一张图的最小边覆盖的大小加上最大匹配的大小等于图的点数，即 $\rho(G)+\nu(G)=|V(G)|$ 。

一张图的最大匹配的大小不超过最小边覆盖的大小，即 $\nu(G)\le\rho(G)$ 。特别地，完美匹配一定是一个最小边覆盖，这也是上式取到等号的唯一情况。

一张图的任何一个独立集的大小都不超过其任何一个边覆盖的大小。完全二分图 $K_{n, m}$ 的最大独立集和最小边覆盖大小都为 $\max(n, m)$ 。

### 团