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??? note " 例题[洛谷 P4781【模板】拉格朗日插值](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4781)"

??? note " 例题 [Luogu P4781【模板】拉格朗日插值](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4781)"

### 题目大意

使用 **待定系数法** 。设 $f(x)=\sum_{i=0}^{n-1} a_ix^i$ 将每个 $x_i$ 代入 $f(x)$ ，有 $f(x_i)=y_i$ ，这样就可以得到一个由 $n$ 条 $n$ 元 $1$ 次方程所组成的方程组，然后使用 **高斯消元** 求出每一项 $a_i$ ，然后将 $k$ 代入求值。

如果您不知道什么是高斯消元，请看[luogu P3389 高斯消元法](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3389)。

如果您不知道什么是高斯消元，请看 [Luogu P3389 高斯消元法](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3389)。

时间复杂度 $O(n^3)$ ，对给出点的坐标无要求。

公式整理得：

 $f(x)=\sum_{i=1}^{n} y_i\times(\prod_{j\neq i }\frac{x-x_j}{x_i-x_j})$

$$ f(x)=\sum_{i=1}^{n} y_i\times(\prod_{j\neq i }\frac{x-x_j}{x_i-x_j}) $$

如果要将每一项都算出来，时间复杂度仍是 $O(n^2)$ 的，但是本题中只用求出 $f(k)$ 的值，所以只需将 $k$ 代入进式子里得：

 $\mathrm{answer}=\sum_{i=1}^{n} y_i\times(\prod_{j\neq i }\frac{k-x_j}{x_i-x_j})$

$$ \mathrm{answer}=\sum_{i=1}^{n} y_i\times(\prod_{j\neq i }\frac{k-x_j}{x_i-x_j}) $$

本题中，还需要求解逆元。如果先分别计算出分子和分母，再将分子乘进分母的逆元，累加进最后的答案，时间复杂度的瓶颈就不会在求逆元上，时间复杂度为 $O(n^2)$ 。

#include <cstring>

#include <algorithm>

const int maxn = 2010;

typedef long long ll;

using ll = long long;

ll mod = 998244353;

ll n, k, x[maxn], y[maxn], ans, s1, s2;

ll powmod(ll a, ll x) {

  }

  return ret;

}

ll inv(ll x) { return powmod(x, mod - 2); }

ll inv(ll x) {

  return powmod(x, mod - 2);

}

int main() {

  scanf("%lld%lld", &n, &k);

  for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld%lld", x + i, y + i);