fix some problems

> 离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，缩写为 DFT），是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式，将信号的时域采样变换为其 DTFT 的频域采样。

>

> FFT 是一种 DFT 的高效算法，称为快速傅立叶变换（fast Fourier transform）。——百度百科

> FFT 是一种 DFT 的高效算法，称为快速傅立叶变换（Fast Fourier transform）。——百度百科

在百度百科上能找到 DFT 和 FFT 这两个定义。正如定义，FFT 和 DFT 实际上按照结果来看的话是一样的，但是 FFT 比较快的计算 DFT 和 IDFT（离散反傅里叶变换）。

好了现在附上全部代码（[HDU 1402](http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1402)），序言说过代码来自 kuangbin 的模板~~~~~

??? " FFT "

    ```cpp

    #include <cmath>

    #include <cstdio>

    #include <cstring>

    #include <iostream>

using namespace std;

    const double PI = acos(-1.0);

    struct Complex {

      double x, y;

## 前置知识

FFT，多项式乘法

## Basic Concepts

### 多项式的度

对于一个多项式 $f\left(x\right)$，称其最高次项的次数为该多项式的**度(Degree)**，记作 $\operatorname{deg}{f}$。

对于一个多项式 $f(x)$，称其最高次项的次数为该多项式的**度（Degree）**，记作 $\operatorname{deg}{f}$。

### 多项式的逆元

对于多项式 $f\left(x\right)$，若存在 $g\left(x\right)$ 满足：

对于多项式 $f(x)$，若存在 $g(x)$ 满足：

$$ \begin{aligned}

    f\left(x\right)g\left(x\right)&\equiv 1\pmod{x^{n}}\\

    \operatorname{deg}{g}&\leqslant\operatorname{deg}{f}

	f(x) g(x) & \equiv 1 \pmod{x^{n}} \\

	\operatorname{deg}{g} & \le \operatorname{deg}{f}

\end{aligned} $$

则称 $g\left(x\right)$ 为 $f\left(x\right)$ 在模 $x^{n}$ 意义下的**逆元(Inverse Element)**，记作 $f^{-1}\left(x\right)$。

则称 $g(x)$ 为 $f(x)$ 在模 $x^{n}$ 意义下的**逆元（Inverse Element）**，记作 $f^{-1}(x)$。

### 多项式的余数和商

对于多项式 $f\left(x\right),g\left(x\right)$，存在**唯一**的 $Q\left(x\right),R\left(x\right)$ 满足：

对于多项式 $f(x), g(x)$，存在**唯一**的 $Q(x), R(x)$ 满足：

$$ \begin{aligned}

    f\left(x\right)&=Q\left(x\right)g\left(x\right)+R\left(x\right)\\

    f(x) &= Q(x) g(x) + R(x) \\

    \operatorname{deg}{Q} &= \operatorname{deg}{f} - \operatorname{deg}{g} \\

    \operatorname{deg}{R} &< \operatorname{deg}{g}

\end{aligned} $$

我们称 $Q\left(x\right)$ 为 $g\left(x\right)$ 除 $f\left(x\right)$ 的**商(Quotient)**,$R\left(x\right)$ 为 $g\left(x\right)$ 除 $f\left(x\right)$ 的**余数(Remainder)**.

我们称 $Q(x)$ 为 $g(x)$ 除 $f(x)$ 的**商（Quotient）**，R(x)$ 为 $g(x)$ 除 $f(x)$ 的**余数（Remainder）**。

亦可记作

$$f\left(x\right)\equiv R\left(x\right)\pmod{g\left(x\right)}$$

$$ f(x) \equiv R(x) \pmod{g(x)} $$

### <span id="ln-exp">多项式的对数函数与指数函数</span>

对于一个多项式 $f\left(x\right)$，可以将其对数函数看作其与麦克劳林级数的复合:

对于一个多项式 $f(x)$，可以将其对数函数看作其与麦克劳林级数的复合:

$$\ln{\left(1-f\left(x\right)\right)}=-\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{f^{i}\left(x\right)}{i}$$

$$ \ln{(1 - f(x))} = -\sum_{i = 1}^{+\infty} \frac{f^{i}(x)}{i} = \sum_{i = 1}^{+\infty} \frac{(-1)^{i - 1}f^{i}(x)}{i} $$

其指数函数同样可以这样定义:

$$\exp{f\left(x\right)}=e^{f\left(x\right)}=\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{f^{i}\left(x\right)}{i!}$$

$$ \exp{f(x)} = e^{f(x)} = \sum_{i = 0}^{+\infty} \frac{f^{i}(x)}{i!} $$

### 多项式的多点求值和插值

**多项式的多点求值(Multi-point evaluation)** 即给出一个多项式 $f\left(x\right)$ 和 $n$ 个点 $x_{1},x_{2},...,x_{n}$，求

**多项式的多点求值（Multi-point evaluation）** 即给出一个多项式 $f(x)$ 和 $n$ 个点 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$，求

$$f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right),...,f\left(x_{n}\right) $$

$$ f(x_{1}), f(x_{2}), \dots, f(x_{n}) $$

**多项式的插值(Interpolation)** 即给出 $n+1$ 个点

**多项式的插值（Interpolation）** 即给出 $n + 1$ 个点

$$\left(x_{0},y_{0}\right),\left(x_{1},y_{1}\right),...,\left(x_{n},y_{n}\right) $$

$$(x_{0}, y_{0}), (x_{1}, y_{1}), \dots, (x_{n}, y_{n}) $$

求一个 $n$ 次多项式 $f\left(x\right)$ 使得这 $n+1$ 个点都在 $f\left(x\right)$ 上.

求一个 $n$ 次多项式 $f(x)$ 使得这 $n + 1$ 个点都在 $f(x)$ 上。

这两种操作的实质就是将多项式在**系数表示**和**点值表示**间转化。

## References

[**Picks's Blog**](https://picks.logdown.com)

[**Miskcoo's Space**](https://blog.miskcoo.com)

- [**Picks's Blog**](https://picks.logdown.com)

- [**Miskcoo's Space**](https://blog.miskcoo.com)