Loading docs/graph/chord.md +4 −3 Original line number Diff line number Diff line Loading @@ -122,9 +122,10 @@ **Lemma 9** ：考虑三个点 $u,v,w$ 满足 $\alpha(u)<\alpha(v)<\alpha(w)$ ，如果 $uw$ 相连， $vw$ 不相连，则 $w$ 只给 $u$ 的 $label$ 贡献，不给 $v$ 贡献。为了让 $v$ 比 $u$ 先加入序列，需要一个 $x$ 满足 $\alpha(v)<\alpha(x)$ 且 $vx$ 相连， $ux$ 不相连，即 $x$ 只给 $v$ 贡献而不给 $u$ 贡献。 **Lemma 10** ：任意一个弦图一定不存在一个序列 $v_0,v_1,...,v_k(k\ge 2)$ 满足下列性质： 1\. $v_iv_j$ 相连当且仅当 $|i-j|=1$ 。 1\. $\alpha(v_0)>\alpha(v_i)(i\in[1,k])$ 。 1\. 存在 $i\in[1,k-1]$ ，满足 $\alpha(v_i)<\alpha(v_{i+1})<...<\alpha(v_k)$ 且 $\alpha(v_i)<\alpha(v_{i-1})<...<\alpha(v_1)<\alpha(v_k)<\alpha(v_0)$ 。 1. $v_iv_j$ 相连当且仅当 $|i-j|=1$ 。 2. $\alpha(v_0)>\alpha(v_i)(i\in[1,k])$ 。 3. 存在 $i\in[1,k-1]$ ，满足 $\alpha(v_i)<\alpha(v_{i+1})<...<\alpha(v_k)$ 且 $\alpha(v_i)<\alpha(v_{i-1})<...<\alpha(v_1)<\alpha(v_k)<\alpha(v_0)$ 。 证明： Loading docs/graph/flow/max-flow.md +27 −1 Original line number Diff line number Diff line Loading @@ -131,9 +131,35 @@ Dinic 算法有两个优化： 1. **多路增广** ：每次找到一条增广路的时候，如果残余流量没有用完怎么办呢？我们可以利用残余部分流量，再找出一条增广路。这样就可以在一次 DFS 中找出多条增广路，大大提高了算法的效率。 2. **当前弧优化** ：如果一条边已经被增广过，那么它就没有可能被增广第二次。那么，我们下一次进行增广的时候，就可以不必再走那些已经被增广过的边。 #### 时间复杂度 设点数为 $n$ ，边数为 $m$ ，那么 Dinic 算法的时间复杂度（在应用上面两个优化的前提下）是 $O(n^{2}m)$ ，在稀疏图上效率和 EK 算法相当，但在稠密图上效率要比 EK 算法高很多。 特别地，在求解二分图最大匹配问题时，可以证明 Dinic 算法的时间复杂度是 $O(m\sqrt{n})$ 。 首先考虑单轮增广的过程。在应用了 **当前弧优化** 的前提下，对于每个点，我们维护下一条可以增广的边，而当前弧最多变化 $m$ 次，从而单轮增广的最坏时间复杂度为 $O(nm)$ 。 接下来我们证明，最多只需 $n-1$ 轮增广即可得到最大流。 我们先回顾下 Dinic 的增广过程。对于每个点，Dinic 只会找比该点层数多 $1$ 的点进行增广。 首先容易发现，对于图上的每个点，一轮增广后其层数一定不会减小。而对于汇点 $t$ ，情况会特殊一些，其层数在一轮增广后一定增大。 对于后者，我们考虑用反证法证明。如果 $t$ 的层数在一轮增广后不变，则意味着在上一次增广中，仍然存在着一条从 $s$ 到 $t$ 的增广路，且该增广路上相邻两点间的层数差为 $1$ 。这条增广路应该在上一次增广过程中就被增广了，这就出现了矛盾。 从而我们证明了汇点的层数在一轮增广后一定增大，即增广过程最多进行 $n-1$ 次。 综上 Dinic 的最坏时间复杂度为 $O(n^{2}m)$ 。事实上在一般的网络上，Dinic 算法往往达不到这个上界。 特别地，在求解二分图最大匹配问题时，Dinic 算法的时间复杂度是 $O(m\sqrt{n})$ 。接下来我们将给出证明。 首先我们来简单归纳下求解二分图最大匹配问题时，建立的网络的特点。我们发现这个网络中，所有边的流量均为 $1$ ，且除了源点和汇点外的所有点，都满足入边最多只有一条，或出边最多只有一条。我们称这样的网络为 **单位网络** 。 对于单位网络，一轮增广的时间复杂度为 $O(m)$ ，因为每条边只会被考虑最多一次。 接下来我们试着求出增广轮数的上界。假设我们已经先完成了前 $\sqrt{n}$ 轮增广，因为汇点的层数在每次增广后均严格增加，因此所有长度不超过 $\sqrt{n}$ 的增广路都已经在之前的增广过程中被增广。设前 $\sqrt{n}$ 轮增广后，网络的流量为 $f$ ，而整个网络的最大流为 $f'$ ，设两者间的差值 $d=f'-f$ 。 因为网络上所有边的流量均为 $1$ ，所以我们还需要找到 $d$ 条增广路才能找到网络最大流。又因为单位网络的特点，这些增广路不会在源点和汇点以外的点相交。因此这些增广路至少经过了 $d\sqrt{n}$ 个点（每条增广路的长度至少为 $\sqrt{n}$ ），且不能超过 $n$ 个点。因此残量网络上最多还存在 $\sqrt{n}$ 条增广路。也即最多还需增广 $\sqrt{n}$ 轮。 综上，对于包含二分图最大匹配在内的单位网络，Dinic 算法可以在 $O(m\sqrt{n})$ 的时间内求出其最大流。 ??? note "参考代码" ```cpp Loading docs/lang/csl/associative-container.md +51 −81 Original line number Diff line number Diff line Loading @@ -2,12 +2,12 @@ `set` 是关联容器，含有键值类型对象的已排序集，搜索、移除和插入拥有对数复杂度。 `set` 内部通常采用红黑树实现。 和数学中的集合相似， `set` 中不会出现值相同的元素。 和数学中的集合相似， `set` 中不会出现值相同的元素。如果需要有相同元素的集合，需要使用 `multiset` 。 `multiset` 的使用方法与 `set` 的使用方法基本相同。 ### 插入与删除操作 - `insert(x)` 当容器中没有等价元素的时候，将元素 x 插入到 `set` 中。 - `erase(x)` 删除值为 x 的元素，返回删除元素的个数。 - `erase(x)` 删除值为 x 的 **所有** 元素，返回删除元素的个数。 - `erase(pos)` 删除迭代器为 pos 的元素，要求迭代器必须合法。 - `erase(first,last)` 删除迭代器在 $[first,last)$ 范围内的所有元素。 - `clear()` 清空 `set` 。 Loading @@ -15,7 +15,7 @@ ???+note "insert 函数的返回值" insert 函数的返回值类型为 `pair<iterator, bool>` ，其中 iterator 是一个指向所插入元素（或者是指向等于所插入值的原本就在容器中的元素）的迭代器，而 bool 则代表元素是否插入成功，由于 `set` 中的元素具有唯一性质，所以如果在 `set` 中已有等值元素，则插入会失败，返回 false，否则插入成功，返回 true； `map` 中的 insert 也是如此。 ### 迭代器 ### 迭代器<span id="set-iterator"></span> `set` 提供了以下几种迭代器： Loading @@ -30,7 +30,7 @@ 以上列出的迭代器中，含有字符 `c` 的为只读迭代器，你不能通过只读迭代器去修改 `set` 中的元素的值。如果一个 `set` 本身就是只读的，那么它的一般迭代器和只读迭代器完全等价。只读迭代器自 C++11 开始支持。 ### 查找操作 ### 查找操作<span id="set-find"></span> - `count(x)` 返回 `set` 内键为 x 的元素数量。 - `find(x)` 在 `set` 内存在键为 x 的元素时会返回该元素的迭代器，否则返回 `end()` 。 Loading @@ -44,34 +44,11 @@ 但使用 `algorithm` 库中的 `lower_bound` 和 `upper_bound` 函数对 `set` 中的元素进行查询，时间复杂度为 $O(n)$ 。 ## `multiset` `multiset` 是关联容器，含有键值类型对象的已排序集，搜索、移除和插入拥有对数复杂度。 与 `set` 不同的是， `multiset` 允许不同元素间拥有相同的值。 ### 插入与删除操作 - `insert(x)` 将元素 x 插入到 `multiset` 中。 - `erase(x)` 删除值为 x 的 **所有** 元素，返回删除元素的个数。 - `erase(pos)` 删除迭代器为 pos 的元素，要求迭代器必须合法。 - `erase(first,last)` 删除迭代器在 $[first,last)$ 范围内的所有元素。 - `clear()` 清空 `multiset` 。 ### 迭代器 `multiset` 的迭代器和 `set` 的 [迭代器](#_2) 类似，这里不再赘述。 ### 查找操作 `multiset` 的查找操作和 `set` 的 [查找操作](#_3) 类似，这里不再赘述。 ## `map` `map` 是有序键值对（Attribute–value pair）容器，它的元素的键是唯一的。搜索、移除和插入操作拥有对数复杂度。 `map` 通常实现为红黑树。 `map` 是有序键值对容器，它的元素的键是唯一的。搜索、移除和插入操作拥有对数复杂度。 `map` 通常实现为红黑树。 你可能需要存储一些键值对，例如存储学生姓名对应的分数： `Tom 0` ， `Bob 100` ， `Alan 100` 。 但是由于数组下标只能为非负整数，所以无法用姓名作为下标来存储，这个时候最简单的办法就是使用 STL 中的 `map` 了！ 你可能需要存储一些键值对，例如存储学生姓名对应的分数： `Tom 0` ， `Bob 100` ， `Alan 100` 。但是由于数组下标只能为非负整数，所以无法用姓名作为下标来存储，这个时候最简单的办法就是使用 STL 中的 `map` 了！ `map` 重载了 `operator[]` ，可以用任意定义了 `operator <` 的类型作为下标（在 `map` 中叫做 `key` ，也就是索引）： Loading @@ -85,77 +62,70 @@ map<Key, T> yourMap; map<string, int> mp; ``` ### 添加元素 `map` 中不会存在键相同的元素， `multimap` 中允许多个元素拥有同一键。 `multimap` 的使用方法与 `map` 的使用方法基本相同。 1. 直接赋值，例如 `mp["Tom"]=0` 2. 通过插入一个类型为 `pair<Key, T>` 的值，例如 `mp.insert(pair<string,int>("Alan",100));` 3. 使用 `initializer_list` ： !!! warning 正是因为 `multimap` 允许多个元素拥有同一键的特点， `multimap` 并没有提供给出键访问其对应值的方法。 ```cpp map<string, int> mp = {{"Tom", 0}, {"Bob", "100"}, {"Alan", 100}}; ``` ### 插入与删除操作<span id="map-insert"></span> ### 查找、修改元素 - 可以直接通过下标访问来进行查询或插入操作。例如 `mp["Alan"]=100` 。 - 通过向 `map` 中插入一个类型为 `pair<Key, T>` 的值可以达到插入元素的目的，例如 `mp.insert(pair<string,int>("Alan",100));` ； - `erase(key)` 函数会删除键为 `key` 的 **所有** 元素。返回值为删除元素的数量。 - `erase(pos)` : 删除迭代器为 pos 的元素，要求迭代器必须合法。 - `erase(first,last)` : 删除迭代器在 $[first,last)$ 范围内的所有元素。 - `clear()` 函数会清空整个容器。 1. 使用赋值语法： `int grade=mp["Tom"]` 。 2. 使用成员函数 `iterator find( const Key& key );` 来确定一个索引是否在 `map` 中。它会返回指向该元素的迭代器；如果索引不在 `map` 中，则会返回尾后迭代器 `mp.end()` 。 3. 如果你想获得 `map` 里全部的元素，请使用迭代器，解引用迭代器会得到一个类型为 `pair<Key, T>` 的值： ???+note "下标访问中的注意事项" 在利用下标访问 `map` 中的某个元素时，如果 `map` 中不存在相应键的元素，会自动在 `map` 中插入一个新元素，并将其值设置为默认值（对于整数，值为零；对于有默认构造函数的类型，会调用默认构造函数进行初始化）。 ```cpp for (iter = mp.begin(); iter != mp.end(); ++iter) cout << iter->first << " " << iter->second << endl; ``` 当下标访问操作过于频繁时，容器中会出现大量无意义元素，影响 `map` 的效率。因此一般情况下推荐使用 `find()` 函数来寻找特定键的元素。 其中使用 `mp.begin()` 可以得到指向 `map` 首元素的迭代器。 如果使用 C++11（及以上），还可以使用 C++11 的范围 for 循环 ### 查询操作 ```cpp for (auto &i : mp) { printf("Key : %d, Value : %d\n", i.first, i.second); } ``` 使用迭代器遍历大小为 $n$ 的 `map` 的时间复杂度是 $O(n)$ 。 - `count(x)` : 返回容器内键为 x 的元素数量。复杂度为 $O(\log(size)+ans)$ （关于容器大小对数复杂度，加上匹配个数）。 - `find(x)` : 若容器内存在键为 x 的元素，会返回该元素的迭代器；否则返回 `end()` 。 - `lower_bound(x)` : 返回指向首个不小于给定键的元素的迭代器。 - `upper_bound(x)` : 返回指向首个大于给定键的元素的迭代器。若容器内所有元素均小于或等于给定键，返回 `end()` 。 - `empty()` : 返回容器是否为空。 - `size()` : 返回容器内元素个数。 ### 删除元素 ## 遍历容器 如果你想删除 `Tom` 这个元素，则可以利用 `find` 函数找到 `Tom` ，然后再 `erase` 如下 可以利用迭代器来遍历关联式容器的所有元素。 ```cpp map<string, int>::iterator it; it = mp.find("Tom"); mp.erase(it) set<int> s; typedef set<int>::iterator si; for (si it = s.begin(); it != s.end(); it++) cout << *it << endl; ``` 如果你想清空所有的元素，可以直接 `mp.clear()` 需要注意的是，对 `map` 的迭代器解引用后，得到的是类型为 `pair<Key, T>` 的键值对。 ### 其他函数 在 C++11 中，使用范围 for 循环会让代码简洁很多： - `count` 返回匹配特定键的元素出现的次数，例如 `mp.count("Tom")` 。 - `swap` 可以交换两个 `map` ，例如 `swap(m1,m2)` 。 - `size` 返回 `map` 中元素的个数。 - `empty` 如果 `map` 为空则返回 `true` ，例如 `mp.empty()` 。 ```cpp set<int> s; for (auto x : s) cout << x << endl; ``` ## `multimap` 对于任意关联式容器，使用迭代器遍历容器的时间复杂度均为 $O(n)$ 。 和 `map` 类似， `multimap` 是有序键值对容器，但允许多个元素拥有同一键。其搜索、插入操作拥有对数复杂度。删除单个元素在最坏情况下具有对数复杂度，均摊为常数复杂度。 ## 自定义比较方式 !!! warning 正是因为 multimap 允许多个元素拥有同一键的特点，multimap 并没有提供给出键访问其对应值的方法。 `set` 在默认情况下的比较函数为 `<` （如果是非内置类型需要 [重载 `<` 运算符](../op-overload.md#compare) ）。然而在某些特殊情况下，我们希望能自定义 `set` 内部的比较方式。 ### 插入与删除操作 这时候可以通过传入自定义比较器来解决问题。 - 通过向 `multimap` 中插入一个类型为 `pair<Key, T>` 的值可以达到插入元素的目的，例如 `mp.insert(pair<string,int>("Alan",100));` ； - `erase(x)` : 删除键为 x 的 **所有** 元素，返回删除元素的个数。 - `erase(pos)` : 删除迭代器为 pos 的元素，要求迭代器必须合法。 - `erase(first,last)` : 删除迭代器在 $[first,last)$ 范围内的所有元素。 - `clear()` : 清空容器。 具体来说，我们需要定义一个类，并在这个类中 [重载 `()` 运算符](../op-overload.md#function) 。 ### 查找操作 例如，我们想要维护一个存储整数，且较大值靠前的 `set` ，可以这样实现： - `count(x)` : 返回容器内键为 x 的元素数量。复杂度为 $O(\log(size)+ans)$ （关于容器大小对数复杂度，加上匹配个数）。 - `find(x)` : 若容器内存在键为 x 的元素，会返回该元素的迭代器（如果有多个键为 x 的元素会返回任意一个）；否则返回 `end()` 。 - `lower_bound(x)` : 返回指向首个不小于给定键的元素的迭代器。 - `upper_bound(x)` : 返回指向首个大于给定键的元素的迭代器。若容器内所有元素均小于或等于给定键，返回 `end()` 。 - `empty()` : 返回容器是否为空。 - `size()` : 返回容器内元素个数。 ```cpp struct cmp { bool operator()(int a, int b) { return a > b; } }; set<int, cmp> s; ``` 对于其他关联式容器，可以用类似的方式实现自定义比较，这里不再赘述。 docs/math/bernoulli.md +32 −11 Original line number Diff line number Diff line Loading @@ -160,40 +160,61 @@ $$ 两边都加上 $B_{m + 1}$ ，即得到： $$ \begin{aligned} \sum_{j=0}^{m+1}\binom{m+1}{j}B_j&=[m=0]+B_{m+1}\\ \sum_{j=0}^{m}\binom{m}{j}B_j&=[m=1]+B_{m}\\ \sum_{j=0}^{m}\dfrac{B_j}{j!}\cdot\dfrac{1}{(m-j)!}&=[m=1]+\dfrac{B_{m}}{m!} \end{aligned}$$ \end{aligned} $$ 设 $B(z) = \sum\limits_{i\ge 0}\dfrac{B_i}{i!}z^i$ ，注意到左边为卷积形式，故： $$ B(z)e^z &= z+B(z)\\B(z) &=\\dfrac{z}{e^z - 1}\\end{aligned}$$ $$ \begin{aligned} B(z)e^z &= z+B(z)\\ B(z)&=\dfrac{z}{e^z - 1} \end{aligned} $$ 设 $F_n(z) = \sum_{m\ge 0}\dfrac{S_m(n)}{m!}z^m$ ，则： $$ \begin{aligned} F_n(z) &= \sum_{m\ge 0}\dfrac{S_m(n)}{m!}z^m\\ &= \sum_{m\ge 0}\sum_{i=0}^{n-1}\dfrac{i^mz^m}{m!}\\ \end{aligned}$$ \end{aligned} $$ 调换求和顺序： $$ F*n(z) &=\\sum*{i=0}^{n-1}\\sum*{m\\ge 0}\\dfrac{i^mz^m}{m!}\\&=\\sum*{i=0}^{n-1}e^{iz}\\&=\\dfrac{e^{nz} - 1}{e^z - 1}\\&=\\dfrac{z}{e^z - 1}\\cdot\\dfrac{e^{nz} - 1}{z}\\end{aligned}$$ $$ \begin{aligned} F_n(z) &=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{m\ge 0}\dfrac{i^mz^m}{m!}\\ &=\sum_{i=0}^{n-1}e^{iz}\\ &=\dfrac{e^{nz} - 1}{e^z - 1}\\ &=\dfrac{z}{e^z - 1}\cdot\dfrac{e^{nz} - 1}{z} \end{aligned} $$ 代入 $B(z)=\dfrac{z}{e^z - 1}$ ： $$ \begin{aligned} F_n(z) &= B(z)\cdot\dfrac{e^{nz} - 1}{z}\\ &= \left(\sum_{i\ge 0}\dfrac{B_i}{i!} \right)\left(\sum_{i\ge 1}\dfrac{n^i z^{i - 1}}{i!}\right)\\ &= \left(\sum_{i\ge 0}\dfrac{B_i}{i!} \right)\left(\sum_{i\ge 0}\dfrac{n^{i+1} z^{i}}{(i+1)!}\right) \end{aligned}$$ \end{aligned} $$ 由于 $F_n(z) = \sum_{m\ge 0}\dfrac{S_m(n)}{m!}z^m$ ，即 $S_m(n)=m![z^m]F_n(z)$ ： $$ S*m(n)&=m![z^m]F_n(z)\\&= m!\\sum*{i=0}^{m}\\dfrac{B*i}{i!}\\cdot\\dfrac{n^{m-i+1}}{(m-i+1)!}\\&=\\dfrac{1}{m+1}\\sum*{i=0}^{m}\\binom{m+1}{i}B_in^{m-i+1}\\end{aligned}$$ $$ \begin{aligned} S \times m(n)&=m![z^m]F_n(z)\\ &= m!\sum_{i=0}^{m}\dfrac{B \times i}{i!}\cdot\dfrac{n^{m-i+1}}{(m-i+1)!}\\ &=\dfrac{1}{m+1}\sum_{i=0}^{m}\binom{m+1}{i}B_in^{m-i+1} \end{aligned} $$ 故得证。 Loading Loading
docs/graph/chord.md +4 −3 Original line number Diff line number Diff line Loading @@ -122,9 +122,10 @@ **Lemma 9** ：考虑三个点 $u,v,w$ 满足 $\alpha(u)<\alpha(v)<\alpha(w)$ ，如果 $uw$ 相连， $vw$ 不相连，则 $w$ 只给 $u$ 的 $label$ 贡献，不给 $v$ 贡献。为了让 $v$ 比 $u$ 先加入序列，需要一个 $x$ 满足 $\alpha(v)<\alpha(x)$ 且 $vx$ 相连， $ux$ 不相连，即 $x$ 只给 $v$ 贡献而不给 $u$ 贡献。 **Lemma 10** ：任意一个弦图一定不存在一个序列 $v_0,v_1,...,v_k(k\ge 2)$ 满足下列性质： 1\. $v_iv_j$ 相连当且仅当 $|i-j|=1$ 。 1\. $\alpha(v_0)>\alpha(v_i)(i\in[1,k])$ 。 1\. 存在 $i\in[1,k-1]$ ，满足 $\alpha(v_i)<\alpha(v_{i+1})<...<\alpha(v_k)$ 且 $\alpha(v_i)<\alpha(v_{i-1})<...<\alpha(v_1)<\alpha(v_k)<\alpha(v_0)$ 。 1. $v_iv_j$ 相连当且仅当 $|i-j|=1$ 。 2. $\alpha(v_0)>\alpha(v_i)(i\in[1,k])$ 。 3. 存在 $i\in[1,k-1]$ ，满足 $\alpha(v_i)<\alpha(v_{i+1})<...<\alpha(v_k)$ 且 $\alpha(v_i)<\alpha(v_{i-1})<...<\alpha(v_1)<\alpha(v_k)<\alpha(v_0)$ 。 证明： Loading
docs/graph/flow/max-flow.md +27 −1 Original line number Diff line number Diff line Loading @@ -131,9 +131,35 @@ Dinic 算法有两个优化： 1. **多路增广** ：每次找到一条增广路的时候，如果残余流量没有用完怎么办呢？我们可以利用残余部分流量，再找出一条增广路。这样就可以在一次 DFS 中找出多条增广路，大大提高了算法的效率。 2. **当前弧优化** ：如果一条边已经被增广过，那么它就没有可能被增广第二次。那么，我们下一次进行增广的时候，就可以不必再走那些已经被增广过的边。 #### 时间复杂度 设点数为 $n$ ，边数为 $m$ ，那么 Dinic 算法的时间复杂度（在应用上面两个优化的前提下）是 $O(n^{2}m)$ ，在稀疏图上效率和 EK 算法相当，但在稠密图上效率要比 EK 算法高很多。 特别地，在求解二分图最大匹配问题时，可以证明 Dinic 算法的时间复杂度是 $O(m\sqrt{n})$ 。 首先考虑单轮增广的过程。在应用了 **当前弧优化** 的前提下，对于每个点，我们维护下一条可以增广的边，而当前弧最多变化 $m$ 次，从而单轮增广的最坏时间复杂度为 $O(nm)$ 。 接下来我们证明，最多只需 $n-1$ 轮增广即可得到最大流。 我们先回顾下 Dinic 的增广过程。对于每个点，Dinic 只会找比该点层数多 $1$ 的点进行增广。 首先容易发现，对于图上的每个点，一轮增广后其层数一定不会减小。而对于汇点 $t$ ，情况会特殊一些，其层数在一轮增广后一定增大。 对于后者，我们考虑用反证法证明。如果 $t$ 的层数在一轮增广后不变，则意味着在上一次增广中，仍然存在着一条从 $s$ 到 $t$ 的增广路，且该增广路上相邻两点间的层数差为 $1$ 。这条增广路应该在上一次增广过程中就被增广了，这就出现了矛盾。 从而我们证明了汇点的层数在一轮增广后一定增大，即增广过程最多进行 $n-1$ 次。 综上 Dinic 的最坏时间复杂度为 $O(n^{2}m)$ 。事实上在一般的网络上，Dinic 算法往往达不到这个上界。 特别地，在求解二分图最大匹配问题时，Dinic 算法的时间复杂度是 $O(m\sqrt{n})$ 。接下来我们将给出证明。 首先我们来简单归纳下求解二分图最大匹配问题时，建立的网络的特点。我们发现这个网络中，所有边的流量均为 $1$ ，且除了源点和汇点外的所有点，都满足入边最多只有一条，或出边最多只有一条。我们称这样的网络为 **单位网络** 。 对于单位网络，一轮增广的时间复杂度为 $O(m)$ ，因为每条边只会被考虑最多一次。 接下来我们试着求出增广轮数的上界。假设我们已经先完成了前 $\sqrt{n}$ 轮增广，因为汇点的层数在每次增广后均严格增加，因此所有长度不超过 $\sqrt{n}$ 的增广路都已经在之前的增广过程中被增广。设前 $\sqrt{n}$ 轮增广后，网络的流量为 $f$ ，而整个网络的最大流为 $f'$ ，设两者间的差值 $d=f'-f$ 。 因为网络上所有边的流量均为 $1$ ，所以我们还需要找到 $d$ 条增广路才能找到网络最大流。又因为单位网络的特点，这些增广路不会在源点和汇点以外的点相交。因此这些增广路至少经过了 $d\sqrt{n}$ 个点（每条增广路的长度至少为 $\sqrt{n}$ ），且不能超过 $n$ 个点。因此残量网络上最多还存在 $\sqrt{n}$ 条增广路。也即最多还需增广 $\sqrt{n}$ 轮。 综上，对于包含二分图最大匹配在内的单位网络，Dinic 算法可以在 $O(m\sqrt{n})$ 的时间内求出其最大流。 ??? note "参考代码" ```cpp Loading
docs/lang/csl/associative-container.md +51 −81 Original line number Diff line number Diff line Loading @@ -2,12 +2,12 @@ `set` 是关联容器，含有键值类型对象的已排序集，搜索、移除和插入拥有对数复杂度。 `set` 内部通常采用红黑树实现。 和数学中的集合相似， `set` 中不会出现值相同的元素。 和数学中的集合相似， `set` 中不会出现值相同的元素。如果需要有相同元素的集合，需要使用 `multiset` 。 `multiset` 的使用方法与 `set` 的使用方法基本相同。 ### 插入与删除操作 - `insert(x)` 当容器中没有等价元素的时候，将元素 x 插入到 `set` 中。 - `erase(x)` 删除值为 x 的元素，返回删除元素的个数。 - `erase(x)` 删除值为 x 的 **所有** 元素，返回删除元素的个数。 - `erase(pos)` 删除迭代器为 pos 的元素，要求迭代器必须合法。 - `erase(first,last)` 删除迭代器在 $[first,last)$ 范围内的所有元素。 - `clear()` 清空 `set` 。 Loading @@ -15,7 +15,7 @@ ???+note "insert 函数的返回值" insert 函数的返回值类型为 `pair<iterator, bool>` ，其中 iterator 是一个指向所插入元素（或者是指向等于所插入值的原本就在容器中的元素）的迭代器，而 bool 则代表元素是否插入成功，由于 `set` 中的元素具有唯一性质，所以如果在 `set` 中已有等值元素，则插入会失败，返回 false，否则插入成功，返回 true； `map` 中的 insert 也是如此。 ### 迭代器 ### 迭代器<span id="set-iterator"></span> `set` 提供了以下几种迭代器： Loading @@ -30,7 +30,7 @@ 以上列出的迭代器中，含有字符 `c` 的为只读迭代器，你不能通过只读迭代器去修改 `set` 中的元素的值。如果一个 `set` 本身就是只读的，那么它的一般迭代器和只读迭代器完全等价。只读迭代器自 C++11 开始支持。 ### 查找操作 ### 查找操作<span id="set-find"></span> - `count(x)` 返回 `set` 内键为 x 的元素数量。 - `find(x)` 在 `set` 内存在键为 x 的元素时会返回该元素的迭代器，否则返回 `end()` 。 Loading @@ -44,34 +44,11 @@ 但使用 `algorithm` 库中的 `lower_bound` 和 `upper_bound` 函数对 `set` 中的元素进行查询，时间复杂度为 $O(n)$ 。 ## `multiset` `multiset` 是关联容器，含有键值类型对象的已排序集，搜索、移除和插入拥有对数复杂度。 与 `set` 不同的是， `multiset` 允许不同元素间拥有相同的值。 ### 插入与删除操作 - `insert(x)` 将元素 x 插入到 `multiset` 中。 - `erase(x)` 删除值为 x 的 **所有** 元素，返回删除元素的个数。 - `erase(pos)` 删除迭代器为 pos 的元素，要求迭代器必须合法。 - `erase(first,last)` 删除迭代器在 $[first,last)$ 范围内的所有元素。 - `clear()` 清空 `multiset` 。 ### 迭代器 `multiset` 的迭代器和 `set` 的 [迭代器](#_2) 类似，这里不再赘述。 ### 查找操作 `multiset` 的查找操作和 `set` 的 [查找操作](#_3) 类似，这里不再赘述。 ## `map` `map` 是有序键值对（Attribute–value pair）容器，它的元素的键是唯一的。搜索、移除和插入操作拥有对数复杂度。 `map` 通常实现为红黑树。 `map` 是有序键值对容器，它的元素的键是唯一的。搜索、移除和插入操作拥有对数复杂度。 `map` 通常实现为红黑树。 你可能需要存储一些键值对，例如存储学生姓名对应的分数： `Tom 0` ， `Bob 100` ， `Alan 100` 。 但是由于数组下标只能为非负整数，所以无法用姓名作为下标来存储，这个时候最简单的办法就是使用 STL 中的 `map` 了！ 你可能需要存储一些键值对，例如存储学生姓名对应的分数： `Tom 0` ， `Bob 100` ， `Alan 100` 。但是由于数组下标只能为非负整数，所以无法用姓名作为下标来存储，这个时候最简单的办法就是使用 STL 中的 `map` 了！ `map` 重载了 `operator[]` ，可以用任意定义了 `operator <` 的类型作为下标（在 `map` 中叫做 `key` ，也就是索引）： Loading @@ -85,77 +62,70 @@ map<Key, T> yourMap; map<string, int> mp; ``` ### 添加元素 `map` 中不会存在键相同的元素， `multimap` 中允许多个元素拥有同一键。 `multimap` 的使用方法与 `map` 的使用方法基本相同。 1. 直接赋值，例如 `mp["Tom"]=0` 2. 通过插入一个类型为 `pair<Key, T>` 的值，例如 `mp.insert(pair<string,int>("Alan",100));` 3. 使用 `initializer_list` ： !!! warning 正是因为 `multimap` 允许多个元素拥有同一键的特点， `multimap` 并没有提供给出键访问其对应值的方法。 ```cpp map<string, int> mp = {{"Tom", 0}, {"Bob", "100"}, {"Alan", 100}}; ``` ### 插入与删除操作<span id="map-insert"></span> ### 查找、修改元素 - 可以直接通过下标访问来进行查询或插入操作。例如 `mp["Alan"]=100` 。 - 通过向 `map` 中插入一个类型为 `pair<Key, T>` 的值可以达到插入元素的目的，例如 `mp.insert(pair<string,int>("Alan",100));` ； - `erase(key)` 函数会删除键为 `key` 的 **所有** 元素。返回值为删除元素的数量。 - `erase(pos)` : 删除迭代器为 pos 的元素，要求迭代器必须合法。 - `erase(first,last)` : 删除迭代器在 $[first,last)$ 范围内的所有元素。 - `clear()` 函数会清空整个容器。 1. 使用赋值语法： `int grade=mp["Tom"]` 。 2. 使用成员函数 `iterator find( const Key& key );` 来确定一个索引是否在 `map` 中。它会返回指向该元素的迭代器；如果索引不在 `map` 中，则会返回尾后迭代器 `mp.end()` 。 3. 如果你想获得 `map` 里全部的元素，请使用迭代器，解引用迭代器会得到一个类型为 `pair<Key, T>` 的值： ???+note "下标访问中的注意事项" 在利用下标访问 `map` 中的某个元素时，如果 `map` 中不存在相应键的元素，会自动在 `map` 中插入一个新元素，并将其值设置为默认值（对于整数，值为零；对于有默认构造函数的类型，会调用默认构造函数进行初始化）。 ```cpp for (iter = mp.begin(); iter != mp.end(); ++iter) cout << iter->first << " " << iter->second << endl; ``` 当下标访问操作过于频繁时，容器中会出现大量无意义元素，影响 `map` 的效率。因此一般情况下推荐使用 `find()` 函数来寻找特定键的元素。 其中使用 `mp.begin()` 可以得到指向 `map` 首元素的迭代器。 如果使用 C++11（及以上），还可以使用 C++11 的范围 for 循环 ### 查询操作 ```cpp for (auto &i : mp) { printf("Key : %d, Value : %d\n", i.first, i.second); } ``` 使用迭代器遍历大小为 $n$ 的 `map` 的时间复杂度是 $O(n)$ 。 - `count(x)` : 返回容器内键为 x 的元素数量。复杂度为 $O(\log(size)+ans)$ （关于容器大小对数复杂度，加上匹配个数）。 - `find(x)` : 若容器内存在键为 x 的元素，会返回该元素的迭代器；否则返回 `end()` 。 - `lower_bound(x)` : 返回指向首个不小于给定键的元素的迭代器。 - `upper_bound(x)` : 返回指向首个大于给定键的元素的迭代器。若容器内所有元素均小于或等于给定键，返回 `end()` 。 - `empty()` : 返回容器是否为空。 - `size()` : 返回容器内元素个数。 ### 删除元素 ## 遍历容器 如果你想删除 `Tom` 这个元素，则可以利用 `find` 函数找到 `Tom` ，然后再 `erase` 如下 可以利用迭代器来遍历关联式容器的所有元素。 ```cpp map<string, int>::iterator it; it = mp.find("Tom"); mp.erase(it) set<int> s; typedef set<int>::iterator si; for (si it = s.begin(); it != s.end(); it++) cout << *it << endl; ``` 如果你想清空所有的元素，可以直接 `mp.clear()` 需要注意的是，对 `map` 的迭代器解引用后，得到的是类型为 `pair<Key, T>` 的键值对。 ### 其他函数 在 C++11 中，使用范围 for 循环会让代码简洁很多： - `count` 返回匹配特定键的元素出现的次数，例如 `mp.count("Tom")` 。 - `swap` 可以交换两个 `map` ，例如 `swap(m1,m2)` 。 - `size` 返回 `map` 中元素的个数。 - `empty` 如果 `map` 为空则返回 `true` ，例如 `mp.empty()` 。 ```cpp set<int> s; for (auto x : s) cout << x << endl; ``` ## `multimap` 对于任意关联式容器，使用迭代器遍历容器的时间复杂度均为 $O(n)$ 。 和 `map` 类似， `multimap` 是有序键值对容器，但允许多个元素拥有同一键。其搜索、插入操作拥有对数复杂度。删除单个元素在最坏情况下具有对数复杂度，均摊为常数复杂度。 ## 自定义比较方式 !!! warning 正是因为 multimap 允许多个元素拥有同一键的特点，multimap 并没有提供给出键访问其对应值的方法。 `set` 在默认情况下的比较函数为 `<` （如果是非内置类型需要 [重载 `<` 运算符](../op-overload.md#compare) ）。然而在某些特殊情况下，我们希望能自定义 `set` 内部的比较方式。 ### 插入与删除操作 这时候可以通过传入自定义比较器来解决问题。 - 通过向 `multimap` 中插入一个类型为 `pair<Key, T>` 的值可以达到插入元素的目的，例如 `mp.insert(pair<string,int>("Alan",100));` ； - `erase(x)` : 删除键为 x 的 **所有** 元素，返回删除元素的个数。 - `erase(pos)` : 删除迭代器为 pos 的元素，要求迭代器必须合法。 - `erase(first,last)` : 删除迭代器在 $[first,last)$ 范围内的所有元素。 - `clear()` : 清空容器。 具体来说，我们需要定义一个类，并在这个类中 [重载 `()` 运算符](../op-overload.md#function) 。 ### 查找操作 例如，我们想要维护一个存储整数，且较大值靠前的 `set` ，可以这样实现： - `count(x)` : 返回容器内键为 x 的元素数量。复杂度为 $O(\log(size)+ans)$ （关于容器大小对数复杂度，加上匹配个数）。 - `find(x)` : 若容器内存在键为 x 的元素，会返回该元素的迭代器（如果有多个键为 x 的元素会返回任意一个）；否则返回 `end()` 。 - `lower_bound(x)` : 返回指向首个不小于给定键的元素的迭代器。 - `upper_bound(x)` : 返回指向首个大于给定键的元素的迭代器。若容器内所有元素均小于或等于给定键，返回 `end()` 。 - `empty()` : 返回容器是否为空。 - `size()` : 返回容器内元素个数。 ```cpp struct cmp { bool operator()(int a, int b) { return a > b; } }; set<int, cmp> s; ``` 对于其他关联式容器，可以用类似的方式实现自定义比较，这里不再赘述。
docs/math/bernoulli.md +32 −11 Original line number Diff line number Diff line Loading @@ -160,40 +160,61 @@ $$ 两边都加上 $B_{m + 1}$ ，即得到： $$ \begin{aligned} \sum_{j=0}^{m+1}\binom{m+1}{j}B_j&=[m=0]+B_{m+1}\\ \sum_{j=0}^{m}\binom{m}{j}B_j&=[m=1]+B_{m}\\ \sum_{j=0}^{m}\dfrac{B_j}{j!}\cdot\dfrac{1}{(m-j)!}&=[m=1]+\dfrac{B_{m}}{m!} \end{aligned}$$ \end{aligned} $$ 设 $B(z) = \sum\limits_{i\ge 0}\dfrac{B_i}{i!}z^i$ ，注意到左边为卷积形式，故： $$ B(z)e^z &= z+B(z)\\B(z) &=\\dfrac{z}{e^z - 1}\\end{aligned}$$ $$ \begin{aligned} B(z)e^z &= z+B(z)\\ B(z)&=\dfrac{z}{e^z - 1} \end{aligned} $$ 设 $F_n(z) = \sum_{m\ge 0}\dfrac{S_m(n)}{m!}z^m$ ，则： $$ \begin{aligned} F_n(z) &= \sum_{m\ge 0}\dfrac{S_m(n)}{m!}z^m\\ &= \sum_{m\ge 0}\sum_{i=0}^{n-1}\dfrac{i^mz^m}{m!}\\ \end{aligned}$$ \end{aligned} $$ 调换求和顺序： $$ F*n(z) &=\\sum*{i=0}^{n-1}\\sum*{m\\ge 0}\\dfrac{i^mz^m}{m!}\\&=\\sum*{i=0}^{n-1}e^{iz}\\&=\\dfrac{e^{nz} - 1}{e^z - 1}\\&=\\dfrac{z}{e^z - 1}\\cdot\\dfrac{e^{nz} - 1}{z}\\end{aligned}$$ $$ \begin{aligned} F_n(z) &=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{m\ge 0}\dfrac{i^mz^m}{m!}\\ &=\sum_{i=0}^{n-1}e^{iz}\\ &=\dfrac{e^{nz} - 1}{e^z - 1}\\ &=\dfrac{z}{e^z - 1}\cdot\dfrac{e^{nz} - 1}{z} \end{aligned} $$ 代入 $B(z)=\dfrac{z}{e^z - 1}$ ： $$ \begin{aligned} F_n(z) &= B(z)\cdot\dfrac{e^{nz} - 1}{z}\\ &= \left(\sum_{i\ge 0}\dfrac{B_i}{i!} \right)\left(\sum_{i\ge 1}\dfrac{n^i z^{i - 1}}{i!}\right)\\ &= \left(\sum_{i\ge 0}\dfrac{B_i}{i!} \right)\left(\sum_{i\ge 0}\dfrac{n^{i+1} z^{i}}{(i+1)!}\right) \end{aligned}$$ \end{aligned} $$ 由于 $F_n(z) = \sum_{m\ge 0}\dfrac{S_m(n)}{m!}z^m$ ，即 $S_m(n)=m![z^m]F_n(z)$ ： $$ S*m(n)&=m![z^m]F_n(z)\\&= m!\\sum*{i=0}^{m}\\dfrac{B*i}{i!}\\cdot\\dfrac{n^{m-i+1}}{(m-i+1)!}\\&=\\dfrac{1}{m+1}\\sum*{i=0}^{m}\\binom{m+1}{i}B_in^{m-i+1}\\end{aligned}$$ $$ \begin{aligned} S \times m(n)&=m![z^m]F_n(z)\\ &= m!\sum_{i=0}^{m}\dfrac{B \times i}{i!}\cdot\dfrac{n^{m-i+1}}{(m-i+1)!}\\ &=\dfrac{1}{m+1}\sum_{i=0}^{m}\binom{m+1}{i}B_in^{m-i+1} \end{aligned} $$ 故得证。 Loading
