Update scc.md (#1361)

3.  横叉边（cross edge）：红色边，它主要是在搜索的时候遇到了一个已经访问过的结点，但是这个结点 **并不是** 当前结点的祖先时形成的。

4.  前向边（forward edge）：蓝色边，它是在搜索的时候遇到子树中的结点的时候形成的。

一个结点的子树内结点的 DFN 都大于该结点的 DFN。

从根开始的一条路径上的 DFN 严格递增。

我们考虑 DFS 生成树与强连通分量之间的关系。

如果结点 $u$ 是某个强连通分量在搜索树中遇到的第一个结点，那么这个强连通分量的其余结点肯定是在搜索树中以 $u$ 为根的子树中。 $u$ 被称为这个强连通分量的根。

### Tarjan 算法求强连通分量

在 Tarjan 算法中为每个结点 $u$ 维护了以下几个变量：

1\. $DFN[u]$ ：深度优先搜索遍历时结点 $u$ 被搜索的次序。

2\. $LOW[u]$ ：设以 $u$ 为根的子树为 $Subtree(u)$ 。 $LOW[u]$ 定义为以下结点的 $DFN$ 的最小值： $Subtree(u)$ 中的结点；从 $Subtree(u)$ 通过一条不在搜索树上的边能到达的结点。

显然，按照 DFS 搜索树的递归顺序， $LOW[u]$ 是单调递增的。

1.   $DFN[u]$ ：深度优先搜索遍历时结点 $u$ 被搜索的次序。

2.   $LOW[u]$ ：设以 $u$ 为根的子树为 $Subtree(u)$ 。 $LOW[u]$ 定义为以下结点的 $DFN$ 的最小值： $Subtree(u)$ 中的结点；从 $Subtree(u)$ 通过一条不在搜索树上的边能到达的结点。

一个结点的子树内结点的 DFN 都大于该结点的 DFN。

从根开始的一条路径上的 DFN 严格递增，LOW 严格非降。

按照深度优先搜索算法搜索的次序对图中所有的结点进行搜索。在搜索过程中，对于结点 $u$ 和与其相邻的结点 $v$ （v 不是 u 的父节点）考虑 3 种情况：

1.   $v$ 未被访问：继续对 $v$ 进行深度搜索。在回溯过程中，用 $LOW[v]$ 更新 $LOW[u]$ 。因为存在从 $u$ 到 $v$ 的直接路径，所以 $v$ 能够回溯到的已经在栈中的结点， $u$ 也一定能够回溯到。

2.   $v$ 被访问过，已经在栈中：即已经被访问过，根据 $LOW$ 值的定义（能够回溯到的最早的已经在栈中的结点），则用 $DFN[v]$ 更新 $LOW[u]$ .

2.   $v$ 被访问过，已经在栈中：即已经被访问过，根据 $LOW$ 值的定义（能够回溯到的最早的已经在栈中的结点），则用 $DFN[v]$ 更新 $LOW[u]$ 。

3.   $v$ 被访问过，已不在在栈中：说明 $v$ 已搜索完毕，其所在连通分量已被处理，所以不用对其做操作。

将上述算法写成伪代码：

第二次 DFS，对于反向后的图，以标号最大的顶点作为起点开始 DFS。这样遍历到的顶点集合就是一个强连通分量。对于所有未访问过的结点，选取标号最大的，重复上述过程。

两次 DFS 结束后，强连通分量就找出来了，Kosaraju 算法的时间复杂度为 $O(n+m)$ 

两次 DFS 结束后，强连通分量就找出来了，Kosaraju 算法的时间复杂度为 $O(n+m)$ 。

### 实现