Loading docs/graph/images/scc1.png 0 → 100644 +45.7 KiB Loading image diff... docs/graph/scc.md +64 −45 Original line number Diff line number Diff line Loading @@ -12,81 +12,100 @@ Robert E. Tarjan (1948~) 美国人。 Tarjan 发明了很多很有用的东西，下到 NOIP 上到 CTSC 难度的都有。 Tarjan 发明了很多算法结构。光 Tarjan 算法就有很多，比如求各种联通分量的 Tarjan 算法，求 LCA（Lowest Common Ancestor，最近公共祖先）的 Tarjan 算法。并查集、Splay、Toptree 也是 Tarjan 发明的。 【举例子：Tarjan 算法，并查集，Splay 树，Tarjan 离线求 lca（Lowest Common Ancestor，最近公共祖先）等等】 我们这里要介绍的是在有向图中求强连通分量的 Tarjan 算法。 我们这里要介绍的是图论中的 Tarjan 算法，用来处理各种连通性相关的问题。 另外，Tarjan 的名字 `j` 不发音，中文译为塔扬。 ### 定义 ### DFS 生成树 方便起见，我们先定义一些东西。 在介绍该算法之前，先来了解 **DFS 生成树** ，我们以下面的有向图为例： `dfn[x]` ：结点 x 第一次被访问的时间戳 (dfs number)  `low[x]` ：结点 x 所能访问到的点的 dfn 值的最小值 有向图的 DFS 生成树主要有 4 种边（不一定全部出现）： 这里的树指的是 DFS 树 1. 树边（tree edge）：绿色边，每次搜索找到一个还没有访问过的结点的时候就形成了一条树边。 2. 反祖边（back edge）：黄色边，也被叫做回边，即指向祖先结点的边。 3. 横叉边（cross edge）：红色边，它主要是在搜索的时候遇到了一个已经访问过的结点，但是这个结点 **并不是** 当前结点的祖先时形成的。 4. 前向边（forward edge）：蓝色边，它是在搜索的时候遇到子树中的结点的时候形成的。 所有结点按 dfn 排序即可得 dfs 序列 一个结点的子树内结点的 DFN 都大于该结点的 DFN。 ### DFS 树的性质 从根开始的一条路径上的 DFN 严格递增。 一个结点的子树内结点的 dfn 都大于该结点的 dfn。 我们考虑 DFS 生成树与强连通分量之间的关系。 从根开始的一条路径上的 dfn 严格递增。 如果结点 $u$ 是某个强连通分量在搜索树中遇到的第一个结点，那么这个强连通分量的其余结点肯定是在搜索树中以 $u$ 为根的子树中。 $u$ 被称为这个强连通分量的根。 一棵 DFS 树被构造出来后，考虑图中的非树边。 反证法：假设有个结点 $v$ 在该强连通分量中但是不在以 $u$ 为根的子树中，那么 $u$ 到 $v$ 的路径中肯定有一条离开子树的边。但是这样的边只可能是横叉边或者反祖边，然而这两条边都要求指向的结点已经被访问过了，这就和 $u$ 是第一个访问的结点矛盾了。得证。 前向边 (forward edge)：祖先→儿子 ### Tarjan 算法求强连通分量 后向边 (backward edge)：儿子→祖先 在 Tarjan 算法中为每个结点 $u$ 维护了以下几个变量： 1\. $DFN[u]$ ：深度优先搜索遍历时结点 $u$ 被搜索的次序。 2\. $LOW[u]$ ：设以 $u$ 为根的子树为 $Subtree(u)$ 。 $LOW[u]$ 定义为以下结点的 $DFN$ 的最小值： $Subtree(u)$ 中的结点；从 $Subtree(u)$ 通过一条不在搜索树上的边能到达的结点。 横叉边 (cross edge)：没有祖先—儿子关系的 显然，按照 DFS 搜索树的递归顺序， $LOW[u]$ 是单调递增的。 注意：横叉边只会往 dfn 减小的方向连接 按照深度优先搜索算法搜索的次序对图中所有的结点进行搜索。在搜索过程中，对于结点 $u$ 和与其相邻的结点 $v$ （v 不是 u 的父节点）考虑 3 种情况： 注意：在无向图中，没有横叉边（为什么？） 1. $v$ 未被访问：继续对 $v$ 进行深度搜索。在回溯过程中，用 $LOW[v]$ 更新 $LOW[u]$ 。因为存在从 $u$ 到 $v$ 的直接路径，所以 $v$ 能够回溯到的已经在栈中的结点， $u$ 也一定能够回溯到。 2. $v$ 被访问过，已经在栈中：即已经被访问过，根据 $LOW$ 值的定义（能够回溯到的最早的已经在栈中的结点），则用 $DFN[v]$ 更新 $LOW[u]$ . 3. $v$ 被访问过，已不在在栈中：说明 $v$ 已搜索完毕，其所在连通分量已被处理，所以不用对其做操作。 将上述算法写成伪代码： TARJAN_SEARCH(int u) vis[u]=true low[u]=dfn[u]=++dfncnt push u to the stack for each (u,v) then do if v hasn't been search then TARJAN_SEARCH(v) // 搜索 low[u]=min(low[u],low[v])// 回溯 else if v has been in the stack then low[u]=min(low[u],dfn[v]) 对于一个连通分量图，我们很容易想到，在该连通图中有且仅有一个 $DFN[u]=LOW[u]$ 。该结点一定是在深度遍历的过程中，该连通分量中第一个被访问过的结点，因为它的 DFN 值和 LOW 值最小，不会被该连通分量中的其他结点所影响。 因此，在回溯的过程中，判定 $DFN[u]=LOW[u]$ 的条件是否成立，如果成立，则栈中从 $u$ 后面的结点构成一个 SCC。 ### 实现 ```cpp dfs(x) { dfn[x] = low[x] = ++index; S.push(x); instack[x] = true; for each edge(x, y) { if (!dfn[y]) { dfs(y); low[x] = min(low[x], low[y]); } else if (instack[y]) { low[x] = min(low[x], dfn[y]); } } if (dfn[x] == low[x]) { while (1) { t = S.pop(); instack[t] = false; if (t == x) break; int dfn[N], low[N], dfncnt, s[N], tp; int scc[N], sc; // 结点 i 所在 scc 的编号 int sz[N]; // 强连通 i 的大小 void tarjan(int u) { low[u] = dfn[u] = ++dfncnt, s[++tp] = u; for (int i = h[u]; i; i = e[i].nex) { const int &v = e[i].t; if (!dfn[v]) tarjan(v), low[u] = min(low[u], low[v]); else if (!scc[v]) low[u] = min(low[u], dfn[v]); } if (dfn[u] == low[u]) { ++sc; while (s[tp] != u) scc[s[tp]] = sc, sz[sc]++, --tp; scc[s[tp]] = sc, sz[sc]++, --tp; } } ``` （转自维基：<https://en.wikipedia.org/wiki/Tarjan%27s_strongly_connected_components_algorithm>） 时间复杂度 $O(n + m)$ 时间复杂度 $O(n + m)$ 。 ## Kosaraju 算法 Kosaraju 算法依靠两次简单的 dfs 实现。 Kosaraju 算法依靠两次简单的 DFS 实现。 第一次 dfs，选取任意顶点作为起点，遍历所有为访问过的顶点，并在回溯之前给顶点编号，也就是后序遍历。 第一次 DFS，选取任意顶点作为起点，遍历所有为访问过的顶点，并在回溯之前给顶点编号，也就是后序遍历。 第二次 dfs，对于反向后的图，以标号最大的顶点作为起点开始 dfs。这样遍历到的顶点集合就是一个强连通分量。对于所有未访问过的结点，选取标号最大的，重复上述过程。 第二次 DFS，对于反向后的图，以标号最大的顶点作为起点开始 DFS。这样遍历到的顶点集合就是一个强连通分量。对于所有未访问过的结点，选取标号最大的，重复上述过程。 两次 dfs 结束后，强连通分量就找出来了，Kosaraju 算法的时间复杂度为 $O(n+m)$ 两次 DFS 结束后，强连通分量就找出来了，Kosaraju 算法的时间复杂度为 $O(n+m)$ ### 实现 Loading Loading
docs/graph/scc.md +64 −45 Original line number Diff line number Diff line Loading @@ -12,81 +12,100 @@ Robert E. Tarjan (1948~) 美国人。 Tarjan 发明了很多很有用的东西，下到 NOIP 上到 CTSC 难度的都有。 Tarjan 发明了很多算法结构。光 Tarjan 算法就有很多，比如求各种联通分量的 Tarjan 算法，求 LCA（Lowest Common Ancestor，最近公共祖先）的 Tarjan 算法。并查集、Splay、Toptree 也是 Tarjan 发明的。 【举例子：Tarjan 算法，并查集，Splay 树，Tarjan 离线求 lca（Lowest Common Ancestor，最近公共祖先）等等】 我们这里要介绍的是在有向图中求强连通分量的 Tarjan 算法。 我们这里要介绍的是图论中的 Tarjan 算法，用来处理各种连通性相关的问题。 另外，Tarjan 的名字 `j` 不发音，中文译为塔扬。 ### 定义 ### DFS 生成树 方便起见，我们先定义一些东西。 在介绍该算法之前，先来了解 **DFS 生成树** ，我们以下面的有向图为例： `dfn[x]` ：结点 x 第一次被访问的时间戳 (dfs number)  `low[x]` ：结点 x 所能访问到的点的 dfn 值的最小值 有向图的 DFS 生成树主要有 4 种边（不一定全部出现）： 这里的树指的是 DFS 树 1. 树边（tree edge）：绿色边，每次搜索找到一个还没有访问过的结点的时候就形成了一条树边。 2. 反祖边（back edge）：黄色边，也被叫做回边，即指向祖先结点的边。 3. 横叉边（cross edge）：红色边，它主要是在搜索的时候遇到了一个已经访问过的结点，但是这个结点 **并不是** 当前结点的祖先时形成的。 4. 前向边（forward edge）：蓝色边，它是在搜索的时候遇到子树中的结点的时候形成的。 所有结点按 dfn 排序即可得 dfs 序列 一个结点的子树内结点的 DFN 都大于该结点的 DFN。 ### DFS 树的性质 从根开始的一条路径上的 DFN 严格递增。 一个结点的子树内结点的 dfn 都大于该结点的 dfn。 我们考虑 DFS 生成树与强连通分量之间的关系。 从根开始的一条路径上的 dfn 严格递增。 如果结点 $u$ 是某个强连通分量在搜索树中遇到的第一个结点，那么这个强连通分量的其余结点肯定是在搜索树中以 $u$ 为根的子树中。 $u$ 被称为这个强连通分量的根。 一棵 DFS 树被构造出来后，考虑图中的非树边。 反证法：假设有个结点 $v$ 在该强连通分量中但是不在以 $u$ 为根的子树中，那么 $u$ 到 $v$ 的路径中肯定有一条离开子树的边。但是这样的边只可能是横叉边或者反祖边，然而这两条边都要求指向的结点已经被访问过了，这就和 $u$ 是第一个访问的结点矛盾了。得证。 前向边 (forward edge)：祖先→儿子 ### Tarjan 算法求强连通分量 后向边 (backward edge)：儿子→祖先 在 Tarjan 算法中为每个结点 $u$ 维护了以下几个变量： 1\. $DFN[u]$ ：深度优先搜索遍历时结点 $u$ 被搜索的次序。 2\. $LOW[u]$ ：设以 $u$ 为根的子树为 $Subtree(u)$ 。 $LOW[u]$ 定义为以下结点的 $DFN$ 的最小值： $Subtree(u)$ 中的结点；从 $Subtree(u)$ 通过一条不在搜索树上的边能到达的结点。 横叉边 (cross edge)：没有祖先—儿子关系的 显然，按照 DFS 搜索树的递归顺序， $LOW[u]$ 是单调递增的。 注意：横叉边只会往 dfn 减小的方向连接 按照深度优先搜索算法搜索的次序对图中所有的结点进行搜索。在搜索过程中，对于结点 $u$ 和与其相邻的结点 $v$ （v 不是 u 的父节点）考虑 3 种情况： 注意：在无向图中，没有横叉边（为什么？） 1. $v$ 未被访问：继续对 $v$ 进行深度搜索。在回溯过程中，用 $LOW[v]$ 更新 $LOW[u]$ 。因为存在从 $u$ 到 $v$ 的直接路径，所以 $v$ 能够回溯到的已经在栈中的结点， $u$ 也一定能够回溯到。 2. $v$ 被访问过，已经在栈中：即已经被访问过，根据 $LOW$ 值的定义（能够回溯到的最早的已经在栈中的结点），则用 $DFN[v]$ 更新 $LOW[u]$ . 3. $v$ 被访问过，已不在在栈中：说明 $v$ 已搜索完毕，其所在连通分量已被处理，所以不用对其做操作。 将上述算法写成伪代码： TARJAN_SEARCH(int u) vis[u]=true low[u]=dfn[u]=++dfncnt push u to the stack for each (u,v) then do if v hasn't been search then TARJAN_SEARCH(v) // 搜索 low[u]=min(low[u],low[v])// 回溯 else if v has been in the stack then low[u]=min(low[u],dfn[v]) 对于一个连通分量图，我们很容易想到，在该连通图中有且仅有一个 $DFN[u]=LOW[u]$ 。该结点一定是在深度遍历的过程中，该连通分量中第一个被访问过的结点，因为它的 DFN 值和 LOW 值最小，不会被该连通分量中的其他结点所影响。 因此，在回溯的过程中，判定 $DFN[u]=LOW[u]$ 的条件是否成立，如果成立，则栈中从 $u$ 后面的结点构成一个 SCC。 ### 实现 ```cpp dfs(x) { dfn[x] = low[x] = ++index; S.push(x); instack[x] = true; for each edge(x, y) { if (!dfn[y]) { dfs(y); low[x] = min(low[x], low[y]); } else if (instack[y]) { low[x] = min(low[x], dfn[y]); } } if (dfn[x] == low[x]) { while (1) { t = S.pop(); instack[t] = false; if (t == x) break; int dfn[N], low[N], dfncnt, s[N], tp; int scc[N], sc; // 结点 i 所在 scc 的编号 int sz[N]; // 强连通 i 的大小 void tarjan(int u) { low[u] = dfn[u] = ++dfncnt, s[++tp] = u; for (int i = h[u]; i; i = e[i].nex) { const int &v = e[i].t; if (!dfn[v]) tarjan(v), low[u] = min(low[u], low[v]); else if (!scc[v]) low[u] = min(low[u], dfn[v]); } if (dfn[u] == low[u]) { ++sc; while (s[tp] != u) scc[s[tp]] = sc, sz[sc]++, --tp; scc[s[tp]] = sc, sz[sc]++, --tp; } } ``` （转自维基：<https://en.wikipedia.org/wiki/Tarjan%27s_strongly_connected_components_algorithm>） 时间复杂度 $O(n + m)$ 时间复杂度 $O(n + m)$ 。 ## Kosaraju 算法 Kosaraju 算法依靠两次简单的 dfs 实现。 Kosaraju 算法依靠两次简单的 DFS 实现。 第一次 dfs，选取任意顶点作为起点，遍历所有为访问过的顶点，并在回溯之前给顶点编号，也就是后序遍历。 第一次 DFS，选取任意顶点作为起点，遍历所有为访问过的顶点，并在回溯之前给顶点编号，也就是后序遍历。 第二次 dfs，对于反向后的图，以标号最大的顶点作为起点开始 dfs。这样遍历到的顶点集合就是一个强连通分量。对于所有未访问过的结点，选取标号最大的，重复上述过程。 第二次 DFS，对于反向后的图，以标号最大的顶点作为起点开始 DFS。这样遍历到的顶点集合就是一个强连通分量。对于所有未访问过的结点，选取标号最大的，重复上述过程。 两次 dfs 结束后，强连通分量就找出来了，Kosaraju 算法的时间复杂度为 $O(n+m)$ 两次 DFS 结束后，强连通分量就找出来了，Kosaraju 算法的时间复杂度为 $O(n+m)$ ### 实现 Loading
