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### 二分图匹配

#### 霍尔定理

设二部图 $G=<V_1, V_2, E>, |V_1| \leq |V_2|$ ，则 $G$ 中存在 $V_1$ 到 $V_2$ 的完备匹配当且仅当对于任意的 $S \subset V_1$ ，均有 $|S|\leq|N(S)|$ ，其中 $N(S)=\Cup_{v_i \in S}{N(V_i)}$ ，是 $S$ 的邻域。

#### 匹配

给定一个二分图$G$，若在$G$的子图$M$中，任意两条边都没有公共节点，那么称$M$为二分图$G$的一个匹配，且M的边数为匹配数。

寻找二分图边数最大的匹配称为最大匹配问题。

对此，有解决此问题的匈牙利算法。

对此，有解决此问题的**匈牙利算法**，时间复杂度为$O(NM)$。

算法步骤大致如下：

[洛谷 P3386 【模板】二分图匹配](https://www.luogu.com.cn/problem/P3386)

#### 最大权匹配

#### 霍尔定理

设二部图 $G=<V_1, V_2, E>, |V_1| \leq |V_2|$ ，则 $G$ 中存在 $V_1$ 到 $V_2$ 的完备匹配当且仅当对于任意的 $S \subset V_1$ ，均有 $|S|\leq|N(S)|$ ，其中 $N(S)=\Cup_{v_i \in S}{N(V_i)}$ ，是 $S$ 的邻域。

## 一般图匹配