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引理 $3$ ： $t$ 是字符串 $s$ 的 border，则 $|s|-|t|$ 是 $s$ 的周期， $|s|-|t|$ 为 $s$ 的最小周期，当且仅当 $t$ 是 $s$ 的最长回文真后缀。

引理 $4$ ： $x$ 是一个回文串， $y$ 是 $x$ 的最长真回文后缀， $z$ 是 $y$ 的最长回文真后缀。令 $u,v$ 分别为满足 $x=uy,y=vz$ 的字符串，则有下面三条性质

引理 $4$ ： $x$ 是一个回文串， $y$ 是 $x$ 的最长回文真后缀， $z$ 是 $y$ 的最长回文真后缀。令 $u,v$ 分别为满足 $x=uy,y=vz$ 的字符串，则有下面三条性质

1.   $|u| \ge |v|$ ；

回文树上的每个节点 $u$ 需要多维护两个信息， $diff[u]$ 和 $slink[u]$ 。 $diff[u]$ 表示节点 $u$ 和 $fail[u]$ 所代表的回文串的长度差，即 $len[u]-len[fail[u]]$ 。 $slink[u]$ 表示 $u$ 一直沿着 fail 向上跳到第一个节点 $v$ ，使得 $diff[v] \neq diff[u]$ ，也就是 $u$ 所在等差数列中长度最小的那个节点。

根据上面证明的结论，如果使用 `slink` 指针向上跳的话，每向后填加一个字符，只需要向上跳 $O(\log |s|)$ 次。因此，可以考虑将一个等差数列表示的所有回文串的 $dp$ 值之和（在原问题中指 $\min$ ），记录到最长的那一个回文串对应节点上。

根据上面证明的结论，如果使用 $slink$ 指针向上跳的话，每向后填加一个字符，只需要向上跳 $O(\log |s|)$ 次。因此，可以考虑将一个等差数列表示的所有回文串的 $dp$ 值之和（在原问题中指 $\min$ ），记录到最长的那一个回文串对应节点上。

 $g[v]$ 表示 $v$ 所在等差数列的 $dp$ 值之和，且 $v$ 是这个等差数列中长度最长的节点，则 $g[v]=\sum_{slink[x]=v} dp[i-len[x]]$ 。