min-cost and max-flow

HLPP 推送的条件是 $h(u)=h(v)+1$ ，而如果在算法的某一时刻， $h(u)=t$ 的结点个数为 $0$ ，那么对于 $h(u)>t$ 的结点就永远无法推送超额流到 $t$ ，因此只能送回 $s$ ，那么我们就在这时直接让他们的高度变成 $n+1$ ，以尽快推送回 $s$ ，减少重贴标签的操作。

???+ "LuoguP4722【模板】最大流 加强版/预流推进"

??? "LuoguP4722【模板】最大流 加强版/预流推进"

    ```cpp

    #include <cstdio>

相当于把 $w(u,v)$ 作为边权，在残存网络上求最短路

#### 核心代码

???+ "核心代码"

    ```cpp

    struct qxx {

## 类 Dinic 算法

我们可以在 $\text{Dinic}$ 算法的基础上进行改进，把 $\text{BFS}$ 求分层图改为用 $\text{SPFA}$ （由于有负权边，所以不能直接用 $\text{Dijkstra}$ ）来求一条单位费用之和最小的路径，也就是把 $w(u,v)$ 当做边权然后在残量网络上求最短路，当然在 $\text{DFS}$ 中也要略作修改。这样就可以求得网络流图的 **最小费用最大流** 了。

我们可以在 Dinic 算法的基础上进行改进，把 BFS 求分层图改为用 SPFA （由于有负权边，所以不能直接用 Dijkstra ）来求一条单位费用之和最小的路径，也就是把 $w(u,v)$ 当做边权然后在残量网络上求最短路，当然在 DFS 中也要略作修改。这样就可以求得网络流图的 **最小费用最大流** 了。

如何建 **反向边** ？对于一条边 $(u,v,w,c)$ （其中 $w$ 和 $c$ 分别为容量和费用），我们建立正向边 $(u,v,w,c)$ 和反向边 $(v,u,0,-c)$ （其中 $-c$ 是使得从反向边经过时退回原来的费用）。

 **优化** ：如果你是“关于 $\text{SPFA}$ ，它死了”言论的追随者，那么你可以使用 $\text{Primal-Dual}$ 原始对偶算法将 $\text{SPFA}$ 改成 $\text{Dijkstra}$ ！

 **优化** ：如果你是“关于 SPFA ，它死了”言论的追随者，那么你可以使用 Primal-Dual 原始对偶算法将 SPFA 改成 Dijkstra ！

 **时间复杂度** ：可以证明上界为 $O(nmf)$ ，其中 $f$ 表示流量。

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### 代码

??? "最小费用最大流"

???+ "代码实现"

    ```cpp

    #include <algorithm>

    #include <cstdio>

    }

    ```

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## 习题

-    [「Luogu 3381」【模板】最小费用最大流](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3381)