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### 题目大意

给出 $n$ 个点 $P_i(x_i,y_i)$ ，将过这 $n$ 个点的最多 $n-1$ 次的多项式记为 $f(x)$ ，求 $f(k)$ 的值。

给出 $n$ 个点 $P_i(x_i,\,y_i)$ ，将过这 $n$ 个点的最多 $n-1$ 次的多项式记为 $f(x)$ ，求 $f(k)$ 的值。

### 方法 1：差分法

### 方法 3：拉格朗日差值法

考虑将每个点做一个对于 $x$ 轴的垂线，设垂足为 $H_i(x_i,0)$ 。

考虑将每个点做一个对于 $x$ 轴的垂线，设垂足为 $H_i(x_i,\,0)$ 。

![](./images/lagrange-poly-1.png)

如上图所示，黑线等于蓝线加绿线加红线。每次我们选择 $1$ 个 $P_i$ ，并选择其他的 $H_j[j\neq i]$ ，做一条过这些点的一条至多 $n-1$ 次的线。由于有 $n-2$ 个点都在 $x$ 轴上，我们知道这条线的解析式一定是形如 $g_i(x)=y_i\times (\prod_{i=1}^{n} (x-x_i)[i\neq x])$ 的形式。

最后将所有的 $g(x)$ 相加，即 $f(x)=sum_{i=1}^{n}g_i(x)$ 。因为对于每个点 $P_i$ ，都只有一条函数经过 $P_i$ ，其余都经过 $H_i$ ，这一项的系数是 $0$ ，所以最后的和函数总是过所有 $n$ 个点的。

最后将所有的 $g(x)$ 相加，即 $f(x)=\sum_{i=1}^{n}g_i(x)$ 。因为对于每个点 $P_i$ ，都只有一条函数经过 $P_i$ ，其余都经过 $H_i$ ，这一项的系数是 $0$ ，所以最后的和函数总是过所有 $n$ 个点的。

公式整理得：

如果要将每一项都算出来，时间复杂度仍是 $O(n^2)$ 的，但是本题中只用求出 $f(k)$ 的值，所以只需将 $k$ 代入进式子里得：

 $Ans=\sum_{i=1}^{n} y_i\times(\prod_{j\neq i }\frac{k-x_j}{x_i-x_j})$ 

 $\mathrm{answer}=\sum_{i=1}^{n} y_i\times(\prod_{j\neq i }\frac{k-x_j}{x_i-x_j})$ 

本题中，还需要求解逆元。如果先分别计算出分子和分母，在计算分母的逆元，乘上分子，累加进最后的答案，时间复杂度的瓶颈就不会在求逆元上，时间复杂度为 $O(n^2)$ 。

本题中，还需要求解逆元。如果先分别计算出分子和分母，再将分子乘进分母的逆元，累加进最后的答案，时间复杂度的瓶颈就不会在求逆元上，时间复杂度为 $O(n^2)$ 。

### 代码实现