add Johnson 全源最短路径算法 (#1789)

三角形不等式： $dist(v) \leq dist(u) + edge\_len(u, v)$ 。

证明：反证法，如果不满足，那么可以用 $relax$ 操作来更新 $dist(v)$ 的值。

证明：反证法，如果不满足，那么可以用松弛操作来更新 $dist(v)$ 的值。

Bellman-Ford 算法如下：

while (1) for each edge(u, v) relax(u, v);

```

当一次循环中没有 $relax$ 操作成功时停止。

当一次循环中没有松弛操作成功时停止。

每次循环是 $O(m)$ 的，那么最多会循环多少次呢？

我们考虑最短路存在的时候。

由于一次 $relax$ 会使（被 $relax$ 的）最短路的边数至少 $+1$ ，而最短路的边数最多为 $n-1$ 。

由于一次松弛操作会使最短路的边数至少 $+1$ ，而最短路的边数最多为 $n-1$ 。

所以最多（连续） $relax$  $n-1$ 次……（ $relax$ 一定是环环相扣的，不然之前就能被 $relax$ 掉）

所以最多循环 $n-1$ 次。

所以最多执行 $n-1$ 次松弛操作，即最多循环 $n-1$ 次。

总时间复杂度 $O(NM)$ 。 **（对于最短路存在的图）** 

给一张有向图，问是否存在负权环。

做法很简单，跑 Bellman-Ford 算法，如果有个点被 $relax$ 成功了 $n$ 次，那么就一定存在。

做法很简单，跑 Bellman-Ford 算法，如果有个点被松弛成功了 $n$ 次，那么就一定存在。

如果 $n-1$ 次之内算法结束了，就一定不存在。

即 Shortest Path Faster Algorithm。

很多时候我们并不需要那么多无用的 $relax$ 操作。

很多时候我们并不需要那么多无用的松弛操作。

很显然，只有上一次被 $relax$ 的结点，所连接的边，才有可能引起下一次的 $relax$ 。

很显然，只有上一次被松弛的结点，所连接的边，才有可能引起下一次的松弛操作。

那么我们用队列来维护“哪些结点可能会引起 $relax$ ”，就能只访问必要的边了。

那么我们用队列来维护“哪些结点可能会引起松弛操作”，就能只访问必要的边了。

```text

q = new queue();

}

```

SPFA 的时间复杂度为 $O(kM)~ (k\approx 2)$ （玄学），但 **理论上界** 为 $O(NM)$ ，精心设计的稠密图可以随便卡掉 SPFA，所以考试时谨慎使用（NOI 2018 卡 SPFA）。

虽然在大多数情况下 SPFA 跑得很快，但其最坏情况下的时间复杂度为 $O(NM)$ ，将其卡到这个复杂度也是不难的，所以考试时要谨慎使用（在没有负权边时最好使用 Dijkstra 算法，在有负权边且题目中的图没有特殊性质时，若 SPFA 是标算的一部分，题目不应当给出 Bellman-Ford 算法无法通过的数据范围）。

#### SPFA 的优化之 SLF

即在新元素加入队列时，如果队首元素权值大于新元素权值，那么就把新元素加入队首，否则依然加入队尾。

该优化在确实在一些图上有显著效果，其复杂度也有保证，但是如果有负权边的话，可以直接卡到指数级。

该优化在确实在一些图上有显著效果，但是如果有负权边的话，可以直接卡到指数级。

* * *

然后重复这些操作：

（1） $relax$ 那些刚刚被加入第一个集合的结点的所有出边。

（2）从第二个集合中，选取一个最短路长度最小的结点，移到第一个集合中。

1.  对那些刚刚被加入第一个集合的结点的所有出边执行松弛操作。

2.  从第二个集合中，选取一个最短路长度最小的结点，移到第一个集合中。

直到第二个集合为空，算法结束。

如果用暴力： $O(n^2 + m) = O(n^2)$ 。

如果用堆 $O((n+m) \log n)$ 。

如果用堆 $O(m \log n)$ 。

如果用 priority_queue： $O((n+m) \log m)$ 。

如果用 priority_queue： $O(m \log m)$ 。

（注：如果使用 priority_queue，无法删除某一个旧的结点，只能插入一个权值更小的编号相同结点，这样操作导致堆中元素是 $O(m)$ 的）

如果用线段树（ZKW 线段树）： $O(m \log n + n) = O(m \log n)$ 

如果用 Fibonacci 堆： $O(n \log n + m) = O(n \log n)$ （这就是为啥优秀了）。

如果用 Fibonacci 堆： $O(n \log n + m)$ （这就是为啥优秀了）。

等等，还没说正确性呢！

再证明第一个集合中的元素的最短路已经确定。

第一步，一开始时成立（基础），在每一步中，加入集合的元素一定是最大值，且是另一边最小值， $relax$ 又是加上非负数，所以仍然成立。（归纳）（利用非负权值的性质）

第一步，一开始时成立（基础），在每一步中，加入集合的元素一定是最大值，且是另一边最小值，每次松弛操作又是加上非负数，所以仍然成立。（归纳）（利用非负权值的性质）

第二步，考虑每次加进来的结点，到他的最短路，上一步必然是第一个集合中的元素（否则他不会是第二个集合中的最小值，而且有第一步的性质），又因为第一个集合已经全部 $relax$ 过了，所以最短路显然确定了。

第二步，考虑每次加进来的结点，到他的最短路，上一步必然是第一个集合中的元素（否则他不会是第二个集合中的最小值，而且有第一步的性质），又因为第一个集合内的点已经全部松弛过了，所以最短路显然确定了。

```text

H = new heap();

}

```

## Johnson 全源最短路径算法

Johnson 和 Floyd 一样，是一种能求出无负环图上任意两点间最短路径的算法。该算法在 1977 年由 Donald B. Johnson 提出。

任意两点间的最短路可以通过枚举起点，跑 $n$ 次 Bellman-Ford 算法解决，时间复杂度是 $O(n^2m)$ 的，也可以直接用 Floyd 算法解决，时间复杂度为 $O(n^3)$ 。

注意到堆优化的 Dijkstra 算法求单源最短路径的时间复杂度比 Bellman-Ford 更优，如果枚举起点，跑 $n$ 次 Dijkstra 算法，就可以在 $O(nm\log m)$ （取决于 Dijkstra 算法的实现）的时间复杂度内解决本问题，比上述跑 $n$ 次 Bellman-Ford 算法的时间复杂度更优秀，在稀疏图上也比 Floyd 算法的时间复杂度更加优秀。

但 Dijkstra 算法不能正确求解带负权边的最短路，因此我们需要对原图上的边进行预处理，确保所有边的边权均非负。

一种容易想到的方法是给所有边的边权同时加上一个正数 $x$ ，从而让所有边的边权均非负。如果新图上起点到终点的最短路经过了 $k$ 条边，则将最短路减去 $kx$ 即可得到实际最短路。

但这样的方法是错误的。考虑下图：

![](./images/shortest-path1.png)

 $1 \to 2$ 的最短路为 $1 \to 5 \to 3 \to 2$ ，长度为 $−2$ 。

但假如我们把每条边的边权加上 $5$ 呢？

![](./images/shortest-path2.png)

新图上 $1 \to 2$ 的最短路为 $1 \to 4 \to 2$ ，已经不是实际的最短路了。

Johnson 算法则通过另外一种方法来给每条边重新标注边权。

我们新建一个虚拟节点（在这里我们就设它的编号为 $0$ ）。从这个点向其他所有点连一条边权为 $0$ 的边。

接下来用 Bellman-Ford 算法求出从 $0$ 号点到其他所有点的最短路，记为 $h_i$ 。

假如存在一条从 $u$ 点到 $v$ 点，边权为 $w$ 的边，则我们将该边的边权重新设置为 $w+h_u-h_v$ 。

接下来以每个点为起点，跑 $n$ 轮 Dijkstra 算法即可求出任意两点间的最短路了。

一开始的 Bellman-Ford 算法并不是时间上的瓶颈，若使用 `priority_queue` 实现 Dijkstra 算法，该算法的时间复杂度是 $O(nm\log m)$ 。

### 正确性证明

为什么这样重新标注边权的方式是正确的呢？

在讨论这个问题之前，我们先讨论一个物理概念——势能。

诸如重力势能，电势能这样的势能都有一个特点，势能的变化量只和起点和终点的相对位置有关，而与起点到终点所走的路径无关。

势能还有一个特点，势能的绝对值往往取决于设置的零势能点，但无论将零势能点设置在哪里，两点间势能的差值是一定的。

接下来回到正题。

在重新标记后的图上，从 $s$ 点到 $t$ 点的一条路径 $s \to p_1 \to p_2 \to \dots \to p_k \to t$ 的长度表达式如下：

 $(w(s,p_1)+h_w-h_{p_1})+(w(p_1,p_2)+h_{p_1}-h_{p_2})+ \dots +(w(p_k,t)+h_{p_k}-h_t)$ 

化简后得到：

 $w(s,p_1)+w(p_1,p_2)+ \dots +w(p_k,t)+h_s-h_t$ 

无论我们从 $s$ 到 $t$ 走的是哪一条路径， $h_s-h_t$ 的值是不变的，这正与势能的性质相吻合！

为了方便，下面我们就把 $h_i$ 称为 $i$ 点的势能。

上面的新图中 $s \to t$ 的最短路的长度表达式由两部分组成，前面的边权和为原图中 $s \to t$ 的最短路，后面则是两点间的势能差。因为两点间势能的差为定值，因此原图上 $s \to t$ 的最短路与新图上 $s \to t$ 的最短路相对应。

到这里我们的正确性证明已经解决了一半——我们证明了重新标注边权后图上的最短路径仍然是原来的最短路径。接下来我们需要证明新图中所有边的边权非负，因为在非负权图上，Dijkstra 算法能够保证得出正确的结果。

根据三角形不等式，图上任意一边 $(u,v)$ 上两点满足： $h_v \leq h_u + w(u,v)$ 。这条边重新标记后的边权为 $w'(u,v)=w(u,v)+h_u-h_v \geq 0$ 。这样我们证明了新图上的边权均非负。

这样，我们就证明了 Johnson 算法的正确性。

* * *

## 不同方法的比较

| Floyd      | Bellman-Ford | Dijkstra           |

| ---------- | ------------ | ------------------ |

| 每对结点之间的最短路 | 单源最短路        | 单源最短路              |

| 没有负环的图     | 任意图          | 非负权图               |

|  $O(N^3)$  |  $O(NM)$     |  $O((N+M)\log M)$  |

| Floyd      | Bellman-Ford    | Dijkstra       | Johnson         |

| ---------- | --------------- | -------------- | --------------- |

| 每对结点之间的最短路 | 单源最短路           | 单源最短路          | 每对结点之间的最短路      |

| 没有负环的图     | 任意图（可以判定负环是否存在） | 非负权图           | 没有负环的图          |

|  $O(N^3)$  |  $O(NM)$        |  $O(M\log M)$  |  $O(NM\log M)$  |

注：表中的 Dijkstra 算法在计算复杂度时均用 `priority_queue` 实现。

## 输出方案