bi-graph

### 二分图匹配

#### 霍尔定理

设二部图 $G=<V_1, V_2, E>, |V_1| \leq |V_2|$ ，则 $G$ 中存在 $V_1$ 到 $V_2$ 的完备匹配当且仅当对于任意的 $S \subset V_1$ ，均有 $|S|\leq|N(S)|$ ，其中 $N(S)=\Cup_{v_i \in S}{N(V_i)}$ ，是 $S$ 的邻域。

#### 匹配

给定一个二分图$G$，若在$G$的子图$M$中，任意两条边都没有公共节点，那么称$M$为二分图$G$的一个匹配，且M的边数为匹配数。

寻找二分图边数最大的匹配称为最大匹配问题。

对此，有解决此问题的匈牙利算法。

对此，有解决此问题的**匈牙利算法**，时间复杂度为$O(NM)$。

算法步骤大致如下：

1.首先从任意一个未配对的点$u$开始，选择他的任意一条条边（$u$-$v$），如此时$v$还未配对，则配对成功，配对数加一，若$v$已经配对，则尝试寻找v的配对的另一个配对(该步骤可能会被递归的被执行多次)，若该尝试成功，则配对成功，配对数加一。

1.首先从任意一个未配对的点$u$开始，选择他的任意一条边（$u$-$v$），如此时$v$还未配对，则配对成功，配对数加一，若$v$已经配对，则尝试寻找$v$的配对的另一个配对(该步骤可能会被递归的被执行多次)，若该尝试成功，则配对成功，配对数加一。

2.若果上一步配对不成功，那么选择重新选择一条未被选择过的边，重复上一步。

![](./images/bi-graph-2.png)

接下来对节点3尝试匹配，选择边（3-4），发现4已经有匹配了，我们尝试寻找4的匹配的其他匹配，既1的其他匹配。

这个匹配显然只能从未被选择的边里找（灰色的），我们可以遍历1的所有边，寻找未被选择的，我们很容易找到边（1-5）。

接下来对节点3尝试匹配，选择边（3-4），但发现4已经有匹配了，我们尝试寻找4的匹配的其他匹配，即1的其他匹配。

这个匹配显然只能从未被选择的边里找（灰色的），我们可以遍历1的所有边，寻找未被选择的，很容易找到边（1-5）。

我们发现5已经被匹配了，所以我们尝试寻找5的匹配的其他匹配，即2的其他匹配。类是的，我们可以找到6。

我们发现5已经被匹配了，所以我们尝试寻找5的匹配的其他匹配，即2的其他匹配。类似的，可以找到6。

![](./images/bi-graph-3.png)

![](./images/bi-graph-4.png)

我们可以发现，当我们尝试对节点3进行匹配时，我们走过了一条路径（3-4-1-5-2-6），最后找到了新的匹配方案，我们把这样的道路叫做**增广路**，其本质是一条起点和终点都是未匹配节点的路径。

可以发现，当尝试对节点3进行匹配时，走过了一条路径（3-4-1-5-2-6），最后找到了新的匹配方案，我们把这样的道路叫做**增广路**，其本质是一条起点和终点都是未匹配节点的路径。

匈牙利算法执行的过程也可以看作是不断寻找增广路的过程，当在当前匹配方案下再也找不到增广路，那么当前匹配方案便是最大匹配了。

代码如下：

```cpp

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 2e3 + 10;

int n, m, e;

vector<int> G[N]; //使用邻接表来储存边

int match[N], vis[N];

bool dfs(int u){

    int len = G[u].size();

    for(int i = 0; i < len; i++){ //遍历每一条边

    }

    return 0;

}

int main(){

    scanf("%d %d %d", &n, &m, &e);

    for(int i = 1; i <= e; i++){

        int a, b;

        G[a].push_back(n + b);

        G[n + b].push_back(a);

    }

    int ans = 0;

    for(int i = 1; i <= n; i++){ //对每一个点尝试匹配

        for(int j = 1; j <= n + m; j++) vis[j] = 0;

        if(dfs(i)) ans++;

    }

    printf("%d", ans);

    return 0;

}

```

例题参考：

[洛谷 P3386 【模板】二分图匹配](https://www.luogu.com.cn/problem/P3386)

#### 最大权匹配

#### 霍尔定理

设二部图 $G=<V_1, V_2, E>, |V_1| \leq |V_2|$ ，则 $G$ 中存在 $V_1$ 到 $V_2$ 的完备匹配当且仅当对于任意的 $S \subset V_1$ ，均有 $|S|\leq|N(S)|$ ，其中 $N(S)=\Cup_{v_i \in S}{N(V_i)}$ ，是 $S$ 的邻域。

## 一般图匹配