添加约瑟夫问题（e-maxx翻译

 约瑟夫问题由来已久，而这个问题的解法也在不断改进，只是目前仍没有一个极其高效的算法（log 以内）解决这个问题。

## 问题描述

> n 个人标号 $0,1,\dots n-1$ 逆时针站一圈，从 $0$ 号开始，每一次从当前的人逆时针数 $k$ 个，然后让这个人出局。问最后剩下的人是谁。

这个经典的问题由约瑟夫于公元 1 世纪提出，尽管他当时只考虑了 $k=2$ 的情况。现在我们可以用许多高效的算法解决这个问题。

## 朴素算法

最朴素的算法莫过于直接枚举。用一个环形链表枚举删除的过程，重复 $n-1$ 次得到答案。复杂度 $O(n^2)$。

## 简单优化

寻找下一个人的过程可以用线段树优化。具体地，开一个 $0,1,\dots n-1$ 的线段树，然后记录区间内剩下的人的个数。寻找当前的人的位置以及之后的第 k 个人可以在线段树上二分做。

## 线性算法

设 $J_{n,k}$ 表示规模分别为 $n,k$ 的约瑟夫问题的答案。我们有如下递归式

$$

J_{n,k}=(J_{n-1,k}+k)\bmod n

$$

这个也很好推。你从 0 开始数 k 个，让第 $k-1$ 个人出局后剩下 $n-1$ 个人，你计算出在 $n-1$ 个人中选的答案后，再加一个相对位移 k 得到真正的答案。这个算法的复杂度显然是 $O(n)$ 的。

```cpp

int josephus(int n, int k) {

    int res = 0;

    for (int i = 1; i <= n; ++i) res = (res + k) % i;

    return res;

}

```

## 对数算法

对于 k 较小 n 较大的情况，本题还有一种复杂度为 $k\log_2n$ 的算法。

考虑到我们每次走 k 个删一个，那么在一圈以内我们可以删掉 $\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor$ 个，然后剩下了 $n-\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor$ 个人。这时我们在第 $\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor\cdot k$ 个人的位置上。而你发现这个东西它等于 $n-n\bmod k$。于是我们继续递归处理，算完后还原它的相对位置。得到如下的算法：

```cpp

int josephus(int n, int k) {

    if (n == 1) return 0;

    if (k == 1) return n-1;

    if (k > n) return (josephus(n-1, k) + k) % n;// 线性算法

    int res = josephus(n - n / k, k);

    res -= n % k;

    if (res < 0) res += n;//mod n

    else res += res / (k - 1);// 还原位置

    return res;

}

```

可以证明这个算法的复杂度是 $O(k\log_2n)$ 的。我们设这个过程的递归次数是 $x$，那么每一次问题规模会大致变成 $n\left(1-\frac{1}{k}\right)$，于是得到

$$

n\left(1-\frac{1}{k}\right)^x=1

$$

解这个方程得到

$$

x=-\frac{\ln n}{\ln\left(1-\frac{1}{k}\right)}

$$

用泰勒级数~~搞一搞~~可以得到 $x\approx k\ln n$。于是可以近似认为该算法的复杂度是 $O(k\log_2n)$。

    - 悬线法: misc/largest-matrix.md

    - 计算理论基础: misc/cc-basic.md

    - 字节顺序: misc/endianness.md

    - 约瑟夫问题: misc/josephus.md

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