更新了半平面交

在计算几何中用向量表示，整个题统一以向量的左侧或右侧为半平面。

![半平面](http://www.wjyyy.top/wp-content/uploads/2019/02/201902132142.png)

![半平面](./images/hpi1.PNG)

### 半平面交

这就很像普通的线性规划问题了，得到的半平面交就是线性规划中的可行域。一般情况下半平面交是有限的，经常考察面积等问题的解决。

它可以理解为向量集中每一个向量的右侧的交，或者是下面方程组的解。

$$

\left\{\begin{matrix}

A_1x+B_1y+C\ge 0\\ 

### 极角排序

C 语言有一个库函数叫做 `atan2(double y,double x)`，可以返回 $\theta\in (-\pi,\pi]​$，$\theta =\arctan \frac{y}{x}​$。

C 语言有一个库函数叫做 `atan2(double y,double x)`，可以返回 $\theta\in (-\pi,\pi]$，$\theta =\arctan \frac{y}{x}$。

直接以向量为自变量，调用这个函数，以返回值为关键字排序，得到新的边（向量）集。

对于当前向量，如果上一个交点在这条向量表示的半平面交的**异侧**，那么上一条边就没有意义了。

![单调队列](http://www.wjyyy.top/wp-content/uploads/2019/02/201902140707.png)

![单调队列](./images/hpi2.PNG)

如上图，假设取向量左侧半平面。极角排序后，遍历顺序应该是 $\vec a\to\vec b\to\vec c$。当 $\vec a$ 和 $\vec b$ 入队时，在交点数组里会产生一个点 $D$ （交点数组保存队列中相同下标的向量与前一向量的交点）。

还有一种可能的情况是快结束的时候，新加入的向量会从队首开始造成影响。

![队首影响](http://www.wjyyy.top/wp-content/uploads/2019/02/2019021407479.png)

![队首影响](./images/hpi3.PNG)

仍然假设取向量左侧半平面。加入向量 $\vec e​$ 之后，第一个交点 $G​$ 就在 $\vec e​$ 的右侧，我们把上面的判断标准逆过来看，就知道此时应该删除向量 $ \vec a$，也即**队首**的向量。

仍然假设取向量左侧半平面。加入向量 $\vec e$ 之后，第一个交点 $G$ 就在 $\vec e$ 的右侧，我们把上面的判断标准逆过来看，就知道此时应该删除向量 $ \vec a$，也即**队首**的向量。

最后用队首的向量排除一下队尾多余的向量。因为队首的向量会被后面的约束，而队尾的向量不会。此时它们围成了一个环，因此队首的向量就可以约束队尾的向量。