fix: format and minor improvements

1. 不需要判重，不需要排序；

2.  空间需求减少。

     **大致框架** （伪代码）：

### 伪代码

```text

Procedure IDA_STAR(StartState)

end;

```

### 优点

#### 优点

1. 空间开销小，每个深度下实际上是一个深度优先搜索，不过深度有限制，而 DFS 的空间消耗小是众所周知的；

2. 利于深度剪枝。

### 缺点

#### 缺点

重复搜索：回溯过程中每次 depth 变大都要再次从头搜索。

??? note "埃及分数"

     **题目描述** 

    在古埃及，人们使用单位分数的和（即 $\frac{1}{a}$ ， $a$ 是自然数）表示一切有理数。例如， $\frac{2}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}$ ，但不允许 $\frac{2}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$ ，因为在加数中不允许有相同的。

    在古埃及，人们使用单位分数的和（即 $\frac{1}{a}$ ，$a\in\mathbb{N}^*$）表示一切有理数。例如， $\frac{2}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}$ ，但不允许 $\frac{2}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$ ，因为在加数中不允许有相同的。

    对于一个分数 $\frac{a}{b}$ ，表示方法有很多种，其中加数少的比加数多的好，如果加数个数相同，则最小的分数越大越好。例如， $\frac{19}{45}=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{18}$ 是最优方案。

 **分析** 

这道题目理论上可以用回溯法求解，但是 **解答树** 会非常“恐怖”—不仅深度没有明显的上界，而且加数的选择理论上也是无限的。换句话说，如果用宽度优先遍历，连一层都扩展不完，因为每一层都是 **无限大** 的。

这道题目理论上可以用回溯法求解，但是 **解答树** 会非常“恐怖”——不仅深度没有明显的上界，而且加数的选择理论上也是无限的。换句话说，如果用宽度优先遍历，连一层都扩展不完，因为每一层都是 **无限大** 的。

解决方案是采用迭代加深搜索：从小到大枚举深度上限 $maxd$ ，每次执行只考虑深度不超过 $maxd$ 的节点。这样，只要解的深度优先，则一定可以在有限时间内枚举到。

解决方案是采用迭代加深搜索：从小到大枚举深度上限 $\textit{maxd}$ ，每次执行只考虑深度不超过 $\textit{maxd}$ 的节点。这样，只要解的深度优先，则一定可以在有限时间内枚举到。

深度上限 $maxd$ 还可以用来 **剪枝** 。按照分母递增的顺序来进行扩展，如果扩展到 i 层时，前 $i$ 个分数之和为 $\frac{c}{d}$ ，而第 $i$ 个分数为 $\frac{1}{e}$ ，则接下来至少还需要 $\frac{\frac{a}{b}-\frac{c}{d}}{\frac{1}{e}}$ 个分数，总和才能达到 $\frac{a}{b}$ 。例如，当前搜索到 $\frac{19}{45}=\frac{1}{5}+\frac{1}{100}+\cdots$ ，则后面的分数每个最大为 $\frac{1}{101}$ ，至少需要 $\frac{\frac{19}{45}-\frac{1}{5}}{\frac{1}{101}}=23$ 项总和才能达到 $\frac{19}{45}$ ，因此前 $22$ 次迭代是根本不会考虑这棵子树的。这里的关键在于：可以估计至少还要多少步才能出解。

注意，这里的估计都是乐观的，因为用了 **至少** 这个词。说得学术一点，设深度上限为 $maxd$ ，当前结点 $n$ 的深度为 $g(n)$ ，乐观估价函数为 $h(n)$ ，则当 $g(n)+h(n)>maxd$ 时应该剪枝。这样的算法就是 IDA\*。当然，在实战中不需要严格地在代码里写出 $g(n)$ 和 $h(n)$ ，只需要像刚才那样设计出乐观估价函数，想清楚在什么情况下不可能在当前的深度限制下出解即可。

注意，这里的估计都是乐观的，因为用了 **至少** 这个词。说得学术一点，设深度上限为 $maxd$ ，当前结点 $n$ 的深度为 $g(n)$ ，乐观估价函数为 $h(n)$ ，则当 $g(n)+h(n)>\textit{maxd}$ 时应该剪枝。这样的算法就是 IDA\*。当然，在实战中不需要严格地在代码里写出 $g(n)$ 和 $h(n)$ ，只需要像刚才那样设计出乐观估价函数，想清楚在什么情况下不可能在当前的深度限制下出解即可。

> 如果可以设计出一个乐观估价函数，预测从当前结点至少还需要扩展几层结点才有可能得到解，则迭代加深搜索变成了 IDA\* 算法。

LL gcd(LL a, LL b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }

// 返回满足1/c <= a/b的最小c

// 返回满足 1/c <= a/b 的最小 c 值

inline int get_first(LL a, LL b) { return b / a + 1; }

const int maxn = 100 + 5;

}

```

## 练习题

## 习题

 [旋转游戏 UVa1343](https://www.luogu.com.cn/problem/UVA1343) 

[UVa1343 旋转游戏](https://www.luogu.com.cn/problem/UVA1343)