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## 积性函数 ##

#### 定义 ####

### 定义 ###

  若 $\gcd(x,y)=1$ 且 $f(xy)=f(x)f(y)$，则 $f(n)$ 为积性函数。

#### 性质 ####

### 性质 ###

  若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均为积性函数，则以下函数也为积性函数：

$$

\end{align*}

$$

#### 例子 ####

### 例子 ###

$$

\qquad\begin{array}

\text{约数个数函数}&d(n)=\displaystyle\sum_{d|n}1\\

## Dirichlet 卷积 ##

#### 定义 ####

### 定义 ###

  定义两个数论函数 $f,g$ 的 $\text{Dirichlet}$ 卷积为$$(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$$

#### 性质 ####

### 性质 ###

  $\text{Dirichlet}$ 卷积满足交换律和结合律。

  其中 $\epsilon$ 为 $\text{Dirichlet}$ 卷积的单位元（任何函数卷 $\epsilon$ 都为其本身）

#### 例子 ####

### 例子 ###

$$

\begin{align*}

\epsilon=\mu*1&\Leftrightarrow\epsilon(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\\

## 莫比乌斯函数 ##

#### 定义 ####

### 定义 ###

  $\mu$ 为莫比乌斯函数

#### 性质 ####

### 性质 ###

  莫比乌斯函数不但是积性函数，还有如下性质：

$$

\end{cases}

$$

#### 证明 ####

### 证明 ###

$$

\epsilon(n)=

\begin{cases}

  那么 $\displaystyle\sum_{d|n}\mu(d)=\sum_{d|n'}\mu(d)=\sum_{i=0}^k C_k^i\cdot(-1)^k$

  根据二项式定理，易知该式子的值在 $k=0$ 即 $n=1$ 时值为 $1$ 否则为 $0$，这也同时证明了 $\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]$

#### 线性筛 ####

### 线性筛 ###

  由于 $\mu$ 函数为积性函数，因此可以线性筛莫比乌斯函数（线性筛基本可以求所有的积性函数，尽管方法不尽相同）。

  **代码**：

}

```

#### 拓展 ####

### 拓展 ###

  证明

$$\varphi*1=\text{ID}\text{（ID 函数即 } f(x)=x\text{）}$$

## 莫比乌斯反演 ##

#### 公式 ####

### 公式 ###

  设 $f(n),g(n)$ 为两个数论函数。

  如果有

  那么有

$$g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d})$$

#### 证明 ####

### 证明 ###

- **暴力计算**：