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# 简介 #

  $\text{Splay}$ 是一种二叉查找树，它通过不断将某个节点旋转到根节点，使得整棵树仍然满足二叉查找树的性质，并且保持平衡而不至于退化为链。

$\text{Splay}$ 是一种二叉查找树，它通过不断将某个节点旋转到根节点，使得整棵树仍然满足二叉查找树的性质，并且保持平衡而不至于退化为链。

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### 二叉查找树的性质 ###

  首先肯定是一棵二叉树！

首先肯定是一棵二叉树！

&emsp;&emsp;能够在这棵树上查找某个值的性质：左儿子的值 $<$ 根节点的值 $<$ 右儿子的值。

能够在这棵树上查找某个值的性质：左儿子的值 $<$ 根节点的值 $<$ 右儿子的值。

### 节点维护信息 ###

### 旋转操作 ###

  为了使 $\text{Splay}$ 保持平衡而进行旋转操作，旋转的本质是将某个节点上移一个位置。

为了使 $\text{Splay}$ 保持平衡而进行旋转操作，旋转的本质是将某个节点上移一个位置。

  **旋转需要保证**：

**旋转需要保证**：

- 整棵 $\text{Splay}$ 的中序遍历不变（不能破坏二叉查找树的性质）。

- 受影响的节点维护的信息依然正确有效。

- $root$ 必须指向旋转后的根节点。

  在 $\text{Splay}$ 中旋转分为两种：左旋和右旋。

在 $\text{Splay}$ 中旋转分为两种：左旋和右旋。

![](https://s1.ax1x.com/2018/08/24/P7zcRA.png)

  **具体分析旋转步骤**（假设需要旋转的节点为 $x$，其父亲为 $y$，以右旋为例）

**具体分析旋转步骤**（假设需要旋转的节点为 $x$，其父亲为 $y$，以右旋为例）

1. 将 $y$ 的左儿子指向 $x$ 的右儿子，且 $x$ 的右儿子的父亲指向 $y$。

`ch[y][0]=ch[x][1]; fa[ch[x][1]]=y;`

### Splay 操作 ###

  $\text{Splay}$ 规定：每访问一个节点后都要强制将其旋转到根节点。此时旋转操作具体分为 $6$ 种情况讨论（其中 $x$ 为需要旋转到根的节点）

$\text{Splay}$ 规定：每访问一个节点后都要强制将其旋转到根节点。此时旋转操作具体分为 $6$ 种情况讨论（其中 $x$ 为需要旋转到根的节点）

![](https://s1.ax1x.com/2018/08/24/PHpu7T.png)

- 如果 $x$ 的父亲不是根节点，且 $x$ 和父亲的儿子类型相同，首先将其父亲左旋或右旋，然后将 $x$ 右旋或左旋（图 $3,4$）。

- 如果 $x$ 的父亲不是根节点，且 $x$ 和父亲的儿子类型不同，将 $x$ 左旋再右旋、或者右旋再左旋（图 $5,6$）。

  分析起来一大串，其实代码一小段。大家可以自己模拟一下 $6$ 种旋转情况，就能理解 $\text{Splay}$ 的基本思想了。

分析起来一大串，其实代码一小段。大家可以自己模拟一下 $6$ 种旋转情况，就能理解 $\text{Splay}$ 的基本思想了。

```cpp

void splay(int x) {

	for(int f=fa[x];f=fa[x],f;rotate(x))

### 插入操作 ###

  插入操作是一个比较复杂的过程，具体步骤如下（插入的值为 $k$）：

插入操作是一个比较复杂的过程，具体步骤如下（插入的值为 $k$）：

- 如果树空了则直接插入根并退出。

- 如果当前节点的权值等于 $k$ 则增加当前节点的大小并更新节点和父亲的信息，将当前节点进行 $\text{Splay}$ 操作。

### 查询 x 的排名 ###

  根据二叉查找树的定义和性质，显然可以按照以下步骤查询 $x$ 的排名：

根据二叉查找树的定义和性质，显然可以按照以下步骤查询 $x$ 的排名：

- 如果 $x$ 比当前节点的权值小，向其左子树查找。

- 如果 $x$ 比当前节点的权值大，将答案加上左子树（$size$）和当前节点（$cnt$）的大小，向其右子树查找。

### 查询排名 x 的数 ###

  设 $k$ 为剩余排名，具体步骤如下：

设 $k$ 为剩余排名，具体步骤如下：

- 如果左子树非空且剩余排名 $k$ 不大于左子树的大小 $size$，那么向左子树查找。

- 否则将 $k$ 减去左子树的和根的大小。如果此时 $k$ 的值小于等于 $0$，则返回根节点的权值，否则继续向右子树查找。

### 查询前驱 ###

  前驱定义为小于 $x$ 的最大的数，那么查询前驱可以转化为：将 $x$ 插入（此时 $x$ 已经在根的位置了），前驱即为 $x$ 的左子树中最右边的节点，最后将 $x$ 删除即可。

前驱定义为小于 $x$ 的最大的数，那么查询前驱可以转化为：将 $x$ 插入（此时 $x$ 已经在根的位置了），前驱即为 $x$ 的左子树中最右边的节点，最后将 $x$ 删除即可。

```cpp

int pre() {

### 查询后继 ###

  后继定义为大于 $x$ 的最小的数，查询方法和前驱类似：$x$ 的右子树中最左边的节点。

后继定义为大于 $x$ 的最小的数，查询方法和前驱类似：$x$ 的右子树中最左边的节点。

```cpp

int nxt() {

### 删除操作 ###

  删除操作也是一个比较复杂的操作，具体步骤如下：

删除操作也是一个比较复杂的操作，具体步骤如下：

- 首先将 $x$ 旋转到根的位置。

- 接下来分为多个情况考虑：