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# 堆简介

堆是一种数据结构，维护一个数的集合（或者，一个支持比较的元素的集合）。

堆是一棵树，其每个节点都有一个键值，且每个节点的键值都大于等于/小于等于其父亲的键值。

主要功能有：insert, getmin, deletemin, decreasekey。

每个节点的键值都大于等于其父亲键值的堆叫做小根堆，否则叫做大根堆。STL 中的 `priority_queue` 其实就是一个大根堆。

注意：简单起见，我们这里讨论的都是维护最小值的堆，也叫小根堆，与之相对的叫做大根堆。

（小根）堆主要支持的操作有：插入一个数、查询最小值、删除最小值、合并两个堆、减小一个元素的值。

一些功能强大的堆还能（高效地）支持 merge 等操作。

一些功能强大的堆（可并堆）还能（高效地）支持 merge 等操作。

一些功能更强大的堆还支持可持久化，也就是对任意历史版本进行查询或者操作，产生新的版本。

| 减小一个元素的值 (decrease-key) |  $o(\log n) (下界\Omega(\log \log n) ，\\\\上界 O(2^{2\sqrt{\log \log n}}) )$  |   $O(\log n)$  |    $O(logn)$   |  $O(\log n)$  |  $O(1)$       |

|         是否支持可持久化        |                                  $\times$                                 |  $\checkmark$  |  $\checkmark$  |               |  $\times$     |

一个有趣的事实是，这些堆都是用基于树的数据结构实现的。

习惯上，不加限定提到 “堆” 时往往都指二叉堆。

在 OI 中，最常用的堆是二叉堆，习惯上不加限定提到“堆”时往往也指二叉堆。