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    这里的“值域较小”在不同情况下意义不同。

    在 [Hash 表](../ds/hash.md) 中，值域需要小到能够接受线性的空间与时间复杂度。

    在 [哈希表](../ds/hash.md) 中，值域需要小到能够接受线性的空间与时间复杂度。

    在字符串 Hash 中，值域需要小到能够快速比较（ $10^9$ 、 $10^{18}$ 都是可以快速比较的）。

    在字符串哈希中，值域需要小到能够快速比较（ $10^9$ 、 $10^{18}$ 都是可以快速比较的）。

    同时，为了降低 Hash 冲突率，值域也不能太小。

    同时，为了降低哈希冲突率，值域也不能太小。

我们定义一个把字符串映射到整数的函数 $f$ ，这个 $f$ 称为是 Hash 函数。

这里面的 $b$ 和 $M$ 需要选取得足够合适才行，以使得 Hash 函数的值分布尽量均匀。

如果 $b$ 和 $M$ 互质，在输入随机的情况下，这个 Hash 函数在 $[0,M)$ 上每个值概率相等，此时单次比较的错误率为 $\dfrac 1 M$ 。所以，Hash 的模数一般会选用大质数。

如果 $b$ 和 $M$ 互质，在输入随机的情况下，这个 Hash 函数在 $[0,M)$ 上每个值概率相等，此时单次比较的错误率为 $\frac 1 M$ 。所以，哈希的模数一般会选用大质数。

## Hash 的实现

若进行 $n$ 次比较，每次错误率 $\dfrac 1 M$ ，那么总错误率是 $1-\left(1-\dfrac 1 M\right)^n$ 。在随机数据下，若 $M=10^9 + 7$ , $n=10^6$ ，错误率约为 $\dfrac 1{1000}$ ，并不是能够完全忽略不计的。

所以，进行字符串 Hash 时，经常会对两个大质数分别取模，这样的话 Hash 函数的值域就能扩大到两者之积，错误率就非常小了。

所以，进行字符串哈希时，经常会对两个大质数分别取模，这样的话哈希函数的值域就能扩大到两者之积，错误率就非常小了。

### 多次询问子串 Hash

### 多次询问子串哈希

单次计算一个字符串的 Hash 值复杂度是 $O(n)$ ，其中 $n$ 为串长，与暴力匹配没有区别，如果需要多次询问一个字符串的子串的 Hash 值，每次重新计算效率非常低下。

单次计算一个字符串的哈希值复杂度是 $O(n)$ ，其中 $n$ 为串长，与暴力匹配没有区别，如果需要多次询问一个字符串的子串的哈希值，每次重新计算效率非常低下。

一般采取的方法是对整个字符串先预处理出每个前缀的 Hash 值，将 Hash 值看成一个 $b$ 进制的数对 $M$ 取模的结果，这样的话每次就能快速求出子串的 Hash 了：

一般采取的方法是对整个字符串先预处理出每个前缀的哈希值，将哈希值看成一个 $b$ 进制的数对 $M$ 取模的结果，这样的话每次就能快速求出子串的哈希了：

令 $f_i(s)$ 表示 $f(s[1..i])$ ，那么 $f(s[l..r])=f_r(s)-f_{l-1}(s) \times b^{r-l+1}$ ，其中 $b^{r-l+1}$ 可以预处理出来。

这样的话，就可以在 $O(n)$ 的预处理后每次 $O(1)$ 地计算子串的 Hash 值了。

这样的话，就可以在 $O(n)$ 的预处理后每次 $O(1)$ 地计算子串的哈希值了。

## Hash 的应用

### 字符串匹配

求出模式串的 Hash 值后，求出文本串每个长度为模式串长度的子串的 Hash 值，分别与模式串的 Hash 值比较即可。

求出模式串的哈希值后，求出文本串每个长度为模式串长度的子串的哈希值，分别与模式串的哈希值比较即可。

### 最长回文子串

二分答案，判断是否可行时枚举回文中心（对称轴），Hash 判断两侧是否相等。需要分别预处理正着和倒着的 Hash 值。时间复杂度 $O(n\log n)$ 。

二分答案，判断是否可行时枚举回文中心（对称轴），哈希判断两侧是否相等。需要分别预处理正着和倒着的哈希值。时间复杂度 $O(n\log n)$ 。

这个问题可以使用 [manacher 算法](./manacher.md) 在 $O(n)$ 的时间内解决。

为了方便起见，我们将使用 $h [i] $ 作为 Hash 的前缀字符，并定义 $h[0]=0$ 。

??? note "参考代码"

    ```cpp

    int count_unique_substrings(string const& s) {

        int n = s.size();

        const int m = 1e9 + 9;

        vector<long long> b_pow(n);

        b_pow[0] = 1;

  for (int i = 1; i < n; i++) b_pow[i] = (b_pow[i - 1] * b) % m;

        for (int i = 1; i < n; i++)

        b_pow[i] = (b_pow[i-1] * b) % m;

        vector<long long> h(n + 1, 0);

        for (int i = 0; i < n; i++)

    字符串个数不超过 $10^5$ ，总长不超过 $10^6$ 。

    ??? mdui-shadow-6 "题解"

        每次需要求最长的、是原答案串的后缀、也是第 $i$ 个串的前缀的字符串。枚举这个串的长度，Hash 比较即可。

        每次需要求最长的、是原答案串的后缀、也是第 $i$ 个串的前缀的字符串。枚举这个串的长度，哈希比较即可。

        当然，这道题也可以使用 [KMP 算法](./kmp.md) 解决。