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本文主要介绍了在 OI 中可能用到的重要高中数学知识。

如果是高中 OIer，强烈建议回班级听课。

## 向量

（为人教版高中数学 A 版教科书必修四内容）

（必修四）

> 平面的向量交错生长<br />织成<br />忧伤的网

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> 平面的向量交错生长 / 织成 / 忧伤的网

> ——《膜你抄》

### 定义及相关概念

**向量**：既有大小又有方向的量称为向量。

**有向线段**：带有方向的线段称为有向线段。有向线段有三要素：**起点，方向，长度**，知道了三要素，终点就唯一确定。我们用有向线段表示向量。

**向量的模**：有向线段 $\vec{AB}$ 的长度称为向量的模，即为这个向量的大小。记为： $|\vec{AB}|$ 。

**零向量**：模为 $0$ 的向量。零向量的方向任意。记为： $\vec{0}$ 或 $\mathbf{0}$ 。

**单位向量**：模为 $1$ 的向量称为该方向上的单位向量。

**平行向量**：方向相同或相反的两个**非零**向量。记作： $\vec a\parallel \vec b$ 。

**相等向量**：模相等且方向相同的向量。

**向量** 既有大小又有方向的量称为向量。 数学上研究的向量为**自由向量**，即只要不改变它的大小和方向，起点和终点可以任意平行移动的向量 

**有向线段** 带有方向的线段称为有向线段。有向线段有三要素：**起点，方向，长度**，知道了三要素，终点就唯一确定。我们用有向线段表示向量。

**向量的模** 有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 的长度称为向量的模，即为这个向量的大小。记为： $|\overrightarrow{AB}|$ 。  

**零向量** 模为 $0$ 的向量。零向量的方向任意。记为： $\vec 0$ 或 $\mathbf{0}$ 。  

**单位向量** 模为 $1$ 的向量称为该方向上的单位向量。  

**平行向量** 方向相同或相反的两个**非零**向量。记作： $\vec a\parallel \vec b$ 。对于多个互相平行的向量，可以任作一条直线与这些向量平行，那么任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量又叫**共线向量**。  

**相等向量** 模相等且方向相同的向量。  

**相反向量** 模相等且方向相反的向量。  

**向量的夹角** 已知两个非零向量 $\vec a,\vec b$ ，作 $\overrightarrow{OA}=\vec a,\overrightarrow{OB}=\vec b$ ，那么 $\theta=\angle AOB$ 就是向量 $\vec a$ 与向量 $\vec b$ 的夹角。记作： $\langle \vec a,\vec b\rangle$ 。显然当 $\theta=0$ 时两向量同向， $\theta=\pi$ 时两向量反向， $\theta=\frac{\pi}{2}$ 时我们说两向量垂直，记作 $\vec a\perp \vec b$ 。并且，我们规定 $\theta \in [0,\pi]$ 。

**相反向量**：模相等且方向相反的向量。

**向量的夹角**：已知两个非零向量 $\vec a,\vec b$ ，作 $\vec{OA}=\vec a,\vec{OB}=\vec b$ ，那么 $\theta=\angle \text{AOB}$ 就是向量 $\vec a$ 与向量 $\vec b$ 的夹角。记作： $\langle \vec a,\vec b\rangle$ 。显然当 $\theta =0$ 时两向量同向， $\theta=\pi$ 时两向量反向， $\theta=\frac{\pi}{2}$ 时我们说两向量垂直，记作 $\vec a\perp \vec b$ 。并且，我们规定 $\theta \in [0,\pi]$ 。

（呼……我们一口气把数学书上 2.1.3 之前的定义都给出了。）

我们考虑平行向量，可以任作一条直线与这些向量平行，那么任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量又叫**共线向量**。

由于数学上研究的向量为**自由向量**，即只要不改变它的大小和方向，起点和终点可以任意平行移动的向量。

注意到平面向量具有方向性，我们并不能比较两个向量的大小。但是两个向量可以相等。

注意到平面向量具有方向性，我们并不能比较两个向量的大小（但可以比较两向量的模长）。但是两个向量可以相等。

### 向量的线性运算

#### 向量的加法与减法

#### 向量的加减法

我们定义了一种量，就希望让它具有运算。向量的运算可以类比数的运算，但是我们从物理学的角度出发研究向量的运算。

我们考虑物理学中的位移概念，假如一个人从 $A$ 经 $B$ 走到 $C$ ，我们说他经过的位移为 $\vec{AB}+\vec{BC}$ ，这其实等价于这个人直接从 $A$ 走到 $C$ ，即 $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$ 。

类比物理学中的位移概念，假如一个人从 $A$ 经 $B$ 走到 $C$ ，我们说他经过的位移为 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ ，这其实等价于这个人直接从 $A$ 走到 $C$ ，即 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ 。

注意到力的合成法则——平行四边形法则，同样也可以看做一些向量相加。

1.  **向量加法的三角形法则**：若要求和的向量首尾顺次相连，那么这些向量的和为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点；

2.  **向量加法的平行四边形法则**：若要求和的两个向量**共起点**，那么它们的和向量为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线，起点为两个向量共有的起点，方向沿平行四边形对角线方向。

这样，向量的加法就具有了几何意义。

并且可以验证，向量的加法满足**交换律与结合律**。

这样，向量的加法就具有了几何意义。并且可以验证，向量的加法满足**交换律与结合律**。

因为实数的减法可以写成加上相反数的形式，我们考虑在向量做减法时也这么写。即： $\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b)$ 。

这样，我们考虑共起点的向量，按照平行四边形法则做出它们的差，经过平移后可以发现**共起点向量的差向量是由减向量指向被减向量的有向线段**。

这样，我们考虑共起点的向量，按照平行四边形法则做出它们的差，经过平移后可以发现**「共起点向量的差向量」是由「减向量」指向「被减向量」的有向线段**。

这也是向量减法的几何意义。

我们有时候有两点 $A,B$ ，想知道 $\vec{AB}$ ，可以利用减法运算 $\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}$ 获得。

我们有时候有两点 $A,B$ ，想知道 $\overrightarrow{AB}$ ，可以利用减法运算 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ 获得。

#### 向量的数乘

考虑 $\vec b=\vec a+\vec a+\vec a$ ， $\vec b$ 等于 3 个 $\vec a$ 相加，我们记为 $\vec b=3\vec a$ 。

同样的， $\vec c=-\vec a-\vec a-\vec a$ ，那么 $\vec c=3(-\vec a)=-3\vec a$ 。

于是，一般地，我们规定实数 $\lambda$ 与向量 $\vec a$ 的积为一个向量，这种运算就是向量的**数乘运算**，记作 $\lambda \vec a$ ，它的长度与方向规定如下：

规定「实数 $\lambda$ 与向量 $\vec a$ 的积」为一个向量，这种运算就是向量的**数乘运算**，记作 $\lambda \vec a$ ，它的长度与方向规定如下：

1.   $|\lambda \vec a|=|\lambda||\vec a|$ ；

2.  当 $\lambda >0$ 时， $\lambda\vec a$ 与 $\vec a$ 同向，当 $\lambda =0$ 时， $\lambda \vec a=\vec 0$ ，当 $\lambda<0$ 时， $\lambda \vec a$ 与 $\vec a$ 方向相反。

\lambda(\vec a-\vec b)=\lambda \vec a-\lambda \vec b

$$

由数乘的定义可知，对于**非零**向量 $\vec a$ ，如果存在实数 $\lambda$ ，使得 $\vec b=\lambda \vec a$ ，那么 $\vec a \parallel \vec b$ 。

!!! note "判定两向量共线"

    两个**非零**向量 $\vec a$ 与 $\vec b$ 共线 $\Leftrightarrow$ 有唯一实数 $\lambda:$ $\vec b=\lambda \vec a$ 。

证明：由数乘的定义可知，对于**非零**向量 $\vec a$ ，如果存在实数 $\lambda$ ，使得 $\vec b=\lambda \vec a$ ，那么 $\vec a \parallel \vec b$ 。  

反过来，如果 $\vec a\parallel \vec b$ ， $\vec a \not = \vec 0$ ，且 $|\vec b|=\mu |\vec a|$ ，那么当 $\vec a$ 与 $\vec b$ 同向时， $\vec b=\mu \vec a$ ，反向时 $\vec b=-\mu \vec a$ 。

综上，我们有如下定理：**非零**向量 $\vec a$ 与 $\vec b$ 共线，当且仅当有唯一实数 $\lambda$ ，使得 $\vec b=\lambda \vec a$ 。

最后，向量的加，减，数乘统称为向量的线性运算。

### 平面向量的基本定理及坐标表示

平面向量那么多，我们想用尽可能少的量表示出所有平面向量，怎么办呢？

我们先用一个向量表示出所有向量，这显然是不可能的，因为根据 1.2.2 中的定理，这样我们只能表示出某条直线上的向量。

只用一个向量表示出所有向量显然是不可能的，最多只能表示出某条直线上的向量。

我们再加入一个向量，用两个**不共线**向量表示（两个共线向量在此可以看成同一个向量），这样我们可以把任意一个平面向量分解到这两个向量的方向上了。

也就是说，如果两个向量 $\vec{e_1},\vec{e_2}$ 不共线，那么存在唯一实数对 $(x,y)$ ，使得与 $\vec{e_1},\vec{e_2}$ 共面的任意向量 $\vec p$ 满足 $\vec p=x\vec{e_1}+y\vec{e_2}$ ，这就是**平面向量基本定理**。在同一平面内的两个不共线的向量称为**基底**。

!!! note "平面向量基本定理"

    如果两个向量 $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ 不共线，那么存在唯一实数对 $(x,y)$ ，使得与 $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ 共面的任意向量 $\vec p$ 满足 $\vec p=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}$。

在同一平面内的两个不共线的向量称为**基底**。

如果基底相互垂直，那么我们在分解的时候就是对向量**正交分解**。

#### 平面向量的坐标表示

我们想把平面上的图形都放在平面直角坐标系下研究（这样形的问题就有了数作为依据）。

如果取与横轴与纵轴方向相同的单位向量 $i,j$ 作为一组基底，根据平面向量基本定理，平面上的所有向量与有序实数对 $(x,y)$ 一一对应。

我们可以取与 $x$ 轴与 $y$ 轴方向相同的单位向量 $i,j$ 作为一组基底，可以发现， $\vec p=x\vec i+y\vec j$ ，其中 $\vec p$ 为平面内任意向量。

由于平面向量基本定理，我们发现这样的实数对 $(x,y)$ 是唯一的。这样，平面内的任意向量都可以用有序实数对唯一确定，我们把 $(x,y)$ 叫做向量的**坐标**。记作： $\vec p=(x,y)$ 。

这样没问题？是的，因为有序实数对 $(x,y)$ 与平面直角坐标系上的点唯一确定，那么我们作 $\vec{OP}=\vec p$ ，那么终点 $P(x,y)$ 也是唯一确定的。由于我们研究的都是自由向量，可以自由平移起点，这样，在平面直角坐标系里，每一个向量都可以用有序实数对唯一表示。

而有序实数对 $(x,y)$ 与平面直角坐标系上的点一一对应，那么我们作 $\overrightarrow{OP}=\vec p$ ，那么终点 $P(x,y)$ 也是唯一确定的。由于我们研究的都是自由向量，可以自由平移起点，这样，在平面直角坐标系里，每一个向量都可以用有序实数对唯一表示。

#### 平面向量的坐标运算

由平面向量的线性运算，我们可以推导其坐标运算，主要方法是将坐标全部化为用基底表示，然后利用运算律进行合并，之后表示出运算结果的坐标形式。

推导过程省略，下面给出结论：

若两向量 $\vec a=(m,n),\vec b=(p,q)$ ，则：

$$

k\vec a=(km,kn)

$$

有了坐标运算，我们已知两点 $A(a,b),B(c,d)$ ，想知道 $\vec{AB}$ 就不难了，只需要 $\vec{OB}-\vec{OA}$ 即可，也就是 $\vec{AB}=(c-a,d-b)$ 。

!!! note "求两点间距离"

    已知两点 $A(a,b),B(c,d)$ ，易证 $\overrightarrow{AB}=(c-a,d-b)$ 。

有时候，我们需要将一个点 $P$ 沿一定方向平移某单位长度，这样我们把要平移的方向和距离组合成一个向量，利用向量加法的三角形法则，将 $\vec{OP}$ 加上这个向量，得到的向量终点即为平移后的点。

!!! note "平移一点"

    有时候，我们需要将一个点 $P$ 沿一定方向平移某单位长度，这样我们把要平移的方向和距离组合成一个向量，利用向量加法的三角形法则，将 $\overrightarrow{OP}$ 加上这个向量，得到的向量终点即为平移后的点。

利用向量的坐标运算，我们可以做许多平移操作了！

还可以判断向量共线，在此给出依据：

若 $A,B,C$ 三点共线，则 $\vec{OB}=\lambda \vec{OA}+(1-\lambda)\vec{OC}$ 。

证明很简单，~~留作课后作业。~~

!!! note "三点共线的判定"

    若 $A,B,C$ 三点共线，则 $\overrightarrow{OB}=\lambda \overrightarrow{OA}+(1-\lambda)\overrightarrow{OC}$ 。

### 向量的数量积

\vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos \theta

$$

就是这两个向量的数量积，也叫点积，内积。其中称 $|\vec a|\cos \theta$ 为 $\vec a$ 在 $\vec b$ 方向上的投影。

就是这两个向量的**数量积**，也叫**点积**或**内积**。其中称 $|\vec a|\cos \theta$ 为 $\vec a$ 在 $\vec b$ 方向上的投影。数量积的几何意义即为：数量积 $\vec a \cdot \vec b$ 等于 $\vec a$ 的模与 $\vec b$ 在 $\vec a$ 方向上的投影的乘积。

我们发现，这种运算得到的结果是一个实数，为标量，并不属于向量的线性运算。

数量积有一些性质，在此留给读者进一步探究。在此提一点： $\vec a \perp \vec b$ 等价于 $\vec a\cdot \vec b=0$ 

数量积具有几何意义：数量积 $\vec a \cdot \vec b$ 等于 $\vec a$ 的模与 $\vec b$ 在 $\vec a$ 方向上的投影的乘积。

按照坐标运算的推导过程，我们可以发现数量积的坐标运算：

若 $\vec a=(m,n),\vec b=(p,q)$ ，那么 $\vec a\cdot \vec b=mp+nq$ 。

!!! note "判定两向量垂直"

    $\vec a \perp \vec b$ $\Leftrightarrow$ $\vec a\cdot \vec b=0$

还可以知道，向量的模 $|\vec a|=\sqrt {m^2+n^2}$ 。

!!! note "判定两向量共线"

    $\vec a = \lambda \vec b$ $\Leftrightarrow$ $\vec a\cdot \vec b=|\vec a||\vec b|$ 

当然还可以知道向量夹角余弦值的表达式，式子太长不在这写了。

!!! note "数量积的坐标运算"

    若 $\vec a=(m,n),\vec b=(p,q),$ 则 $\vec a\cdot \vec b=mp+nq$

（其实就是把 $\cos \theta$ 放到一边，把其余量整理一下。）

!!! note "向量的模"

    $|\vec a|=\sqrt {m^2+n^2}$

说到这里，我们就可以用向量解决很多几何问题了。

!!! note "两向量的夹角"

    $\cos \theta=\cfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}$

### 扩展

#### 向量与矩阵

（为人教版高中数学 A 版选修 4-2 内容）

（选修 4-2）

我们发现，矩阵运算的相关法则与向量运算相似，于是考虑将向量写成矩阵形式，这样就将向量问题化为矩阵问题了。