Loading docs/ds/treap.md +40 −0 Original line number Diff line number Diff line Loading @@ -49,6 +49,34 @@ node *merge(node *u, node *v) { } ``` ### 建树（build） 将一个有 $n$ 个节点的序列 $a_i$ 转化为一棵 treap。 定义 `Merge(x,y)` 表示将根为 $x$ 和 $y$ 的两棵 Treap 合并成一棵，其根为该函数的返回值。需要保证 $x<y$ 。 定义 `Split(o,k,x,y)` 表示将根为 $o$ 的 Treap 分裂成 $x,y$ 两个部分，保证 $x < y$ ，即将该 Treap 分裂成权值小于等于 $k$ 的项和其他，分别为 $x$ 和 $y$ 。 可以依次暴力插入这 $n$ 个节点，每次插入一个权值为 $v$ 的节点时，将整棵 treap 按照权值分裂成权值小于等于 $v$ 的和权值大于 $v$ 的两部分，然后新建一个权值为 $v$ 的节点，将两部分和新节点按从小到大的顺序依次合并，时间复杂度 $O(n\log_2 n)$ ，单点插入时间复杂度 $O(\log_2 n)$ 。 ```cpp void build(int n, int a[]) { int x, y; for (int i = 1; i <= n; i++) { split(rt, a[i], x, y); rt = merge(merge(x, newnode(a[i])), y); } } ``` 在某些题目内，可能会有多次插入一段序列的操作，这是就需要在 $O(n)$ 的时间复杂度内完成建树操作。（假设这些节点已经有序） 方法一：直接将这 $n$ 个节点构造成一棵类线段树，即每次选取最中间的节点作为一段区间的树根，这样能保证树高为 $O(\log_2 n)$ 。然后对每个节点钦定优先值，保证其满足堆的性质。 方法二：直接将这 $n$ 个节点构造成一棵类线段树，即每次选取最中间的节点作为一段区间的树根，这样能保证树高为 $O(\log_2 n)$ 。然后给每个节点一个随机优先级，不保证其满足堆的性质。因为非旋式 treap 的优先级不是维护堆的性质，保证树高的，而是使 `merge` 操作更加随机一点，所以也是正确的。 方法三：观察到 treap 是一个笛卡尔树，利用笛卡尔树的 $O(n)$ 建树方法即可，用单调栈维护右脊柱即可。 ## 将 treap 包装成为 `set<int>` ### count 函数 Loading Loading @@ -254,3 +282,15 @@ int main() { return 0; } ``` ## 练习题 [luogu P3369【模板】普通平衡树](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3369) [luogu P3391【模板】文艺平衡树（Splay）](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3391) [luogu P2596\[ZJOI2006\]书架](https://www.luogu.org/problemnew/show/P2596) [luogu P2042\[NOI2005\]维护数列](https://www.luogu.org/problemnew/show/P2042) [CF 702F T-Shirts](http://codeforces.com/problemset/problem/702/F) Loading
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