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## 基本操作

由二叉搜索树的递归定义可得，二叉搜索树的中序遍历权值的序列为非降的序列。

### 遍历二叉搜索树

由二叉搜索树的递归定义可得，二叉搜索树的中序遍历权值的序列为非降的序列。时间复杂度为 $O(n)$ 。

遍历一棵二叉搜索树的代码如下：

  print(rc[o]);            //递归遍历右子树

}

```

### 查找最小/最大值

由二叉搜索树的性质可得，二叉搜索树上的最小值为二叉搜索树左链的顶点，最大值为二叉搜索树右链的顶点。时间复杂度为 $O(h)$ 。

```cpp

int findmin(int o)

{

  if(!lc[o])return val[o];

  return findmin(lc[o]);//一直向左儿子跳

}

int findmax(int o)

{

  if(!rc[o])return val[o];

  return findmax(rc[o]);//一直向右儿子跳

}

```

### 插入一个元素

定义 ```insert(o,v)``` 为在以 $o$ 为根节点的二叉搜索树中插入一个值为 $v$ 的新节点。

分类讨论如下：

若 $o$ 为空，直接返回一个值为 $v$ 的新节点。

若 $o$ 的权值大于 $v$ ，在 $o$ 的左子树中插入权值为 $v$ 的节点。

若 $o$ 的权值等于 $v$ ，该节点的附加域该值出现的次数自增 $1$ 。

若 $o$ 的权值小于 $v$ ，在 $o$ 的右子树中插入权值为 $v$ 的节点。

时间复杂度为 $O(h)$ 。

```cpp

void insert(int o,int v)

{

  if(!o)return;

  siz[o]++;

  if(val[o]>v)insert(lc[o],v);

  if(val[o]==v){cnt[o]++;return;}

  if(val[o]<v)insert(rc[o],v);

}

```

### 删除一个元素

定义 ```delete(o,v)``` 为在以 $o$ 为根节点的二叉搜索树中删除一个值为 $v$ 的节点。

先在二叉搜索树中找到权值为 $v$ 的节点，分类讨论如下：

若该节点的附加 $cnt$ 为 $1$ ：

若 $o$ 为叶子节点，直接删除该节点即可。

若 $o$ 为链节点，即只有一个儿子的节点，返回这个儿子。

若 $o$ 有两个非空子节点，一般是用它左子树的最小值代替它，然后将它删除。

时间复杂度 $O(h)$ 。

```cpp

int deletemin(int o)

{

  if(!lc[o])int ret=val[o],o=rc[o],return ret;

  else return deletemin(lc[o]);

}

void delete(int&o,int v)

{

  siz[o]--;

  if(val[o]==v)

  {

    if(lc[o]&&rc[o])o=deletemin(rc[o]);

    else o=lc[o]+rc[o];

    return;

  }

  if(val[o]>v)delete(lc[o],v);

  if(val[o]<v)delete(rc[o],v);

}

```

### 求元素的排名

排名定义为将数组元素排序后第一个相同元素之前的数的个数 $+1$ 。

维护每个根节点的子树大小 $siz$ 。查找一个元素的排名，首先从根节点跳到这个元素，若向右跳，答案加上左儿子节点个数加当前节点重复的数个数，最后答案加上终点的左儿子子树大小 $+1$ 。

时间复杂度 $O(h)$ 。

```cpp

int queryrnk(int o,int v)

{

  if(val[o]==v)return siz[lc[o]]+1;

  if(val[o]>v)return queryrnk(lc[o],v);

  if(val[o]<v)return queryrnk(rc[o],v)+siz[lc[o]]+cnt[o];

}

```

### 查找排名为 $k$ 的元素

在一棵子树中，根节点的排名取决于其左子树的大小。

若其左子树的大小大于等于 $k$ ，则该元素在左子树中；

若其左子树的大小在区间 $[k-1,k+cnt-1]$ 中，则该元素为子树的根节点；

若其左子树的大小小于 $k+cnt-1$ ，则该元素在右子树中。

时间复杂度 $O(h)$ 。

```cpp

int querykth(int o,int k)

{

  if(siz[lc[o]]>=k)return querykth(lc[o],k);

  if(siz[lc[o]]<k+cnt-1)return querykth(rc[o],k-siz[lc[o]]-cnt[o]+1);

  return o;

}

```