Loading docs/math/bit.md +152 −29 Original line number Diff line number Diff line Loading @@ -3,49 +3,70 @@ 常用的运算符共 6 种 分别为 与（&），或（|），异或（^），取反（~），左移(<<) 和 右移(>>)。 分别为与（`&`）、或（`|`）、异或（`^`）、取反（`~`）、左移（`<<`） 和右移（`>>`）。 ## 与，或，异或 与（&）或（|）和异或（^）这三者都是两者间的运算，因此在这里一起讲解 ## 与、或、异或 与（`&`）或（`|`）和异或（`^`）这三者都是两者间的运算，因此在这里一起讲解 表示把2个整数分别转换为二进制后各位逐一比较 表示把两个整数分别转换为二进制后各位逐一比较 & 只有在两个（对应位数中）都为1时才为1 | 只要在两个（对应位数中）有一个1时就为1 ^ 只有两个（对应位数）不同时才为1 * ^运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即(a ^ b) ^ b = a。 <table><tr> <td style="text-align:center;">`&`</td><td>只有在两个（对应位数中）都为 1 时才为 1</td> </tr><tr> <td style="text-align:center;">`|`</td><td>只要在两个（对应位数中）有一个 1 时就为 1</td> </tr><tr> <td style="text-align:center;">`^`</td><td>只有两个（对应位数）不同时才为 1</td> </tr></table> * `^` 运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即 `(a ^ b) ^ b = a`。 > 举例  $$ \begin{aligned} &5&=&&(101)_2\\ &6&=&&(110)_2\\ &5\text{\tt\,\&\,}6&=&&(100)_2&=\ 4\\ &5\text{\tt\,|\,}6&=&&(111)_2&=\ 7\\ &5\texttt{\ \!\^{}\ }6&=&&(011)_2&=\ 3\\ \end{aligned} $$ #### 取反 取反是对 1 个数 num 进行的计算 ~ 把num的补码中的0和1全部取反（0变为1，1变为0） `~` 把 num 的补码中的 0 和 1 全部取反（ 0 变为 1，1 变为 0） * 补码——正数的补码为其（二进制）本身，负数的补码是其（二进制）取反后+1 * 补码——正数的补码为其（二进制）本身，负数的补码是其（二进制）取反后加一。 > 举例  $$ \begin{aligned} 5=(0000\ 0101)_2\\ 5\ 的补码=(1111\ 1010)_2\\ \text{\tiny{～}\ }5=(1111\ 1010)_2 \end{aligned} $$ ## 左移和右移 与前面的4种运算相似，这两种运算仍是把整数转换为二进制后进行操作 左移（<<） 将转化为二进制后的数字整体向左移动 > num<<i //表示将num转换为二进制后向左移动i位（所得的值） 左移（`<<`） 将转化为二进制后的数字整体向左移动 > `num<<i` //表示将 num 转换为二进制后向左移动 i 位（所得的值） 右移（>>） 将转化为二进制后的数字整体向右移动 > num>>i //表示将num转换为二进制后向左移动i位（所得的值） 右移（`>>`） 将转化为二进制后的数字整体向右移动 > `num>>i` //表示将 num 转换为二进制后向左移动 i 位（所得的值） > 举例  $$ \begin{aligned} &5&&=&&(101)_2\\ &5\text{\tt\,<<\,}2&&=&&(10100)_2\!\!\!&=&&\!\!\!20\\ &5\text{\tt\,>>\,}1&&=&&(10)_2&=&&2 \end{aligned} $$ * 如上图，右移操作中末尾多余的“1”将会被舍弃 Loading @@ -60,7 +81,7 @@ > num*10=(num<<1)+(num<<3) > num&1相当于取num二进制的最末位，可用于判断num的奇偶性，二进制的最末位为0表示该数为偶数，最末位为1表示该数为奇数。 > `num&1`相当于取 num 二进制的最末位，可用于判断 num 的奇偶性，二进制的最末位为 0 表示该数为偶数，最末位为 1 表示该数为奇数。 > ```cpp Loading @@ -74,6 +95,108 @@ void swap(int a, int b){ ``` --- ## 位运算的常用方法 - 乘以 2 运算 ```cpp int mulTwo(int n){//计算n*2 return n << 1; } ``` - 除以 2 运算 ```cpp int divTwo(int n){//负奇数的运算不可用 return n >> 1;//除以2 } ``` - 乘以 2 的 $m$ 次方 ```cpp int mulTwoPower(int n,int m){//计算n*(2^m) return n << m; } ``` - 除以 2 的 $m$ 次方 ```cpp int divTwoPower(int n,int m){//计算n/(2^m) return n >> m; } ``` - 判断一个数的奇偶性 ```cpp boolean isOddNumber(int n){ return (n & 1) == 1; } ``` - 取绝对值（某些机器上，效率比 `n>0 ? n:-n` 高） ```cpp int abs(int n){ return (n ^ (n >> 31)) - (n >> 31); /* n>>31 取得n的符号，若n为正数，n>>31等于0，若n为负数，n>>31等于-1 若n为正数 n^0=0,数不变，若n为负数有n^-1 需要计算n和-1的补码，然后进行异或运算， 结果n变号并且为n的绝对值减1，再减去-1就是绝对值 */ } ``` - 取两个数的最大值（某些机器上，效率比 ` a>b ? a:b` 高） ```cpp int max(int a,int b){ return b & ((a-b) >> 31) | a & (~(a-b) >> 31); /*如果a>=b,(a-b)>>31为0，否则为-1*/ } ``` - 取两个数的最小值（某些机器上，效率比 `a>b ? b:a` 高） ```cpp int min(int a,int b){ return a & ((a-b) >> 31) | b & (~(a-b) >> 31); /*如果a>=b,(a-b)>>31为0，否则为-1*/ } ``` - 判断符号是否相同 ```cpp boolean isSameSign(int x, int y){ //有0的情况例外 return (x ^ y) >= 0; // true 表示 x和y有相同的符号， false表示x，y有相反的符号。 } ``` - 计算 2 的 $n$ 次方 ```cpp int getFactorialofTwo(int n){//n > 0 return 2 << (n-1);//2的n次方 } ``` - 判断一个数是不是 2 的幂 ```cpp boolean isFactorialofTwo(int n){ return n > 0 ? (n & (n - 1)) == 0 : false; /*如果是2的幂，n一定是100... n-1就是1111.... 所以做与运算结果为0*/ } ``` - 对 2 的 $n$ 次方取余 ```cpp int quyu(int m,int n){//n为2的次方 return m & (n - 1); /*如果是2的幂，n一定是100... n-1就是1111.... 所以做与运算结果保留m在n范围的非0的位*/ } ``` - 求两个整数的平均值 ```cpp int getAverage(int x, int y){ return (x + y) >> 1; ｝ ``` #### 题目推荐 [CODE[VS] 2743 黑白棋游戏 ](http://codevs.cn/problem/2743/) Loading
docs/math/bit.md +152 −29 Original line number Diff line number Diff line Loading @@ -3,49 +3,70 @@ 常用的运算符共 6 种 分别为 与（&），或（|），异或（^），取反（~），左移(<<) 和 右移(>>)。 分别为与（`&`）、或（`|`）、异或（`^`）、取反（`~`）、左移（`<<`） 和右移（`>>`）。 ## 与，或，异或 与（&）或（|）和异或（^）这三者都是两者间的运算，因此在这里一起讲解 ## 与、或、异或 与（`&`）或（`|`）和异或（`^`）这三者都是两者间的运算，因此在这里一起讲解 表示把2个整数分别转换为二进制后各位逐一比较 表示把两个整数分别转换为二进制后各位逐一比较 & 只有在两个（对应位数中）都为1时才为1 | 只要在两个（对应位数中）有一个1时就为1 ^ 只有两个（对应位数）不同时才为1 * ^运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即(a ^ b) ^ b = a。 <table><tr> <td style="text-align:center;">`&`</td><td>只有在两个（对应位数中）都为 1 时才为 1</td> </tr><tr> <td style="text-align:center;">`|`</td><td>只要在两个（对应位数中）有一个 1 时就为 1</td> </tr><tr> <td style="text-align:center;">`^`</td><td>只有两个（对应位数）不同时才为 1</td> </tr></table> * `^` 运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即 `(a ^ b) ^ b = a`。 > 举例  $$ \begin{aligned} &5&=&&(101)_2\\ &6&=&&(110)_2\\ &5\text{\tt\,\&\,}6&=&&(100)_2&=\ 4\\ &5\text{\tt\,|\,}6&=&&(111)_2&=\ 7\\ &5\texttt{\ \!\^{}\ }6&=&&(011)_2&=\ 3\\ \end{aligned} $$ #### 取反 取反是对 1 个数 num 进行的计算 ~ 把num的补码中的0和1全部取反（0变为1，1变为0） `~` 把 num 的补码中的 0 和 1 全部取反（ 0 变为 1，1 变为 0） * 补码——正数的补码为其（二进制）本身，负数的补码是其（二进制）取反后+1 * 补码——正数的补码为其（二进制）本身，负数的补码是其（二进制）取反后加一。 > 举例  $$ \begin{aligned} 5=(0000\ 0101)_2\\ 5\ 的补码=(1111\ 1010)_2\\ \text{\tiny{～}\ }5=(1111\ 1010)_2 \end{aligned} $$ ## 左移和右移 与前面的4种运算相似，这两种运算仍是把整数转换为二进制后进行操作 左移（<<） 将转化为二进制后的数字整体向左移动 > num<<i //表示将num转换为二进制后向左移动i位（所得的值） 左移（`<<`） 将转化为二进制后的数字整体向左移动 > `num<<i` //表示将 num 转换为二进制后向左移动 i 位（所得的值） 右移（>>） 将转化为二进制后的数字整体向右移动 > num>>i //表示将num转换为二进制后向左移动i位（所得的值） 右移（`>>`） 将转化为二进制后的数字整体向右移动 > `num>>i` //表示将 num 转换为二进制后向左移动 i 位（所得的值） > 举例  $$ \begin{aligned} &5&&=&&(101)_2\\ &5\text{\tt\,<<\,}2&&=&&(10100)_2\!\!\!&=&&\!\!\!20\\ &5\text{\tt\,>>\,}1&&=&&(10)_2&=&&2 \end{aligned} $$ * 如上图，右移操作中末尾多余的“1”将会被舍弃 Loading @@ -60,7 +81,7 @@ > num*10=(num<<1)+(num<<3) > num&1相当于取num二进制的最末位，可用于判断num的奇偶性，二进制的最末位为0表示该数为偶数，最末位为1表示该数为奇数。 > `num&1`相当于取 num 二进制的最末位，可用于判断 num 的奇偶性，二进制的最末位为 0 表示该数为偶数，最末位为 1 表示该数为奇数。 > ```cpp Loading @@ -74,6 +95,108 @@ void swap(int a, int b){ ``` --- ## 位运算的常用方法 - 乘以 2 运算 ```cpp int mulTwo(int n){//计算n*2 return n << 1; } ``` - 除以 2 运算 ```cpp int divTwo(int n){//负奇数的运算不可用 return n >> 1;//除以2 } ``` - 乘以 2 的 $m$ 次方 ```cpp int mulTwoPower(int n,int m){//计算n*(2^m) return n << m; } ``` - 除以 2 的 $m$ 次方 ```cpp int divTwoPower(int n,int m){//计算n/(2^m) return n >> m; } ``` - 判断一个数的奇偶性 ```cpp boolean isOddNumber(int n){ return (n & 1) == 1; } ``` - 取绝对值（某些机器上，效率比 `n>0 ? n:-n` 高） ```cpp int abs(int n){ return (n ^ (n >> 31)) - (n >> 31); /* n>>31 取得n的符号，若n为正数，n>>31等于0，若n为负数，n>>31等于-1 若n为正数 n^0=0,数不变，若n为负数有n^-1 需要计算n和-1的补码，然后进行异或运算， 结果n变号并且为n的绝对值减1，再减去-1就是绝对值 */ } ``` - 取两个数的最大值（某些机器上，效率比 ` a>b ? a:b` 高） ```cpp int max(int a,int b){ return b & ((a-b) >> 31) | a & (~(a-b) >> 31); /*如果a>=b,(a-b)>>31为0，否则为-1*/ } ``` - 取两个数的最小值（某些机器上，效率比 `a>b ? b:a` 高） ```cpp int min(int a,int b){ return a & ((a-b) >> 31) | b & (~(a-b) >> 31); /*如果a>=b,(a-b)>>31为0，否则为-1*/ } ``` - 判断符号是否相同 ```cpp boolean isSameSign(int x, int y){ //有0的情况例外 return (x ^ y) >= 0; // true 表示 x和y有相同的符号， false表示x，y有相反的符号。 } ``` - 计算 2 的 $n$ 次方 ```cpp int getFactorialofTwo(int n){//n > 0 return 2 << (n-1);//2的n次方 } ``` - 判断一个数是不是 2 的幂 ```cpp boolean isFactorialofTwo(int n){ return n > 0 ? (n & (n - 1)) == 0 : false; /*如果是2的幂，n一定是100... n-1就是1111.... 所以做与运算结果为0*/ } ``` - 对 2 的 $n$ 次方取余 ```cpp int quyu(int m,int n){//n为2的次方 return m & (n - 1); /*如果是2的幂，n一定是100... n-1就是1111.... 所以做与运算结果保留m在n范围的非0的位*/ } ``` - 求两个整数的平均值 ```cpp int getAverage(int x, int y){ return (x + y) >> 1; ｝ ``` #### 题目推荐 [CODE[VS] 2743 黑白棋游戏 ](http://codevs.cn/problem/2743/)
