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对于这题来说，我们只需要保证红色的点无法到达 $1$ 号节点就行了。

通过肉眼观察可以得出结论—— $1$ 号节点的右子树（虽然实际上可能有多个子树，但这里只有两个子树，所以暂时这么称呼了）一个红色节点都木有， **所以没必要去 DP 它** 。

通过肉眼观察可以得出结论—— $1$ 号节点的右子树（虽然实际上可能有多个子树，但这里只有两个子树，所以暂时这么称呼了）一个红色节点都没有， **所以没必要去 DP 它** 。

观察题目给出的条件，红色点（关键点）的总数是与 $n$ 同阶的，也就是说实际上一次询问中红色的点对于整棵树来说是很稀疏的，所以如果我们能让复杂度由红色点的总数来决定就好了。

非常直观的一个方法是：

- 将关键点按 DFS 序排序；

-  `for` 一遍，任意两个相邻的关键点求一下 LCA，并且哈希表判重；

- 遍历一遍，任意两个相邻的关键点求一下 LCA，并且哈希表判重；

- 然后根据原树中的祖先后代关系建树。

朴素算法的复杂度较高。因此我们提出一种单调栈做法。

- 取序列第二个作为当前节点，为 $6$ 。再取栈顶元素，为 $4$ 。求 $6$ 和 $4$ 的 $LCA$ ： $LCA(6,4)=1$ 。

- 发现 $LCA(6,4)\neq$ 栈顶元素，进入判断阶段。

- 判断阶段：发现栈顶节点 $4$ 的 DFS 序是大于 $LCA(6,4)$ 的，但是次大节点（栈顶节点下面的那个节点） $1$ 的 DFS 序是等于 $LCA$ 的（其实 DFS 序相等说明节点也相等），说明 $LCA$ 已经入栈了，所以直接连接 $1->4$ 的边，也就是 $LCA$ 到栈顶元素的边。并把 $4$ 从栈中弹出。

- 判断阶段：发现栈顶节点 $4$ 的 DFS 序是大于 $LCA(6,4)$ 的，但是次大节点（栈顶节点下面的那个节点） $1$ 的 DFS 序是等于 $LCA$ 的（其实 DFS 序相等说明节点也相等），说明 $LCA$ 已经入栈了，所以直接连接 $1\to4$ 的边，也就是 $LCA$ 到栈顶元素的边。并把 $4$ 从栈中弹出。

![vtree-15](./images/vtree-15.png)

- 取序列第三个作为当前节点，为 $7$ 。再取栈顶元素，为 $6$ 。求 $7$ 和 $6$ 的 $LCA$ ： $LCA(7,6)=3$ 。

- 发现 $LCA(7,6)\neq$ 栈顶元素，进入判断阶段。

- 判断阶段：发现栈顶节点 $6$ 的 DFS 序是大于 $LCA(7,6)$ 的，但是次大节点（栈顶节点下面的那个节点） $1$ 的 DFS 序是小于 $LCA$ 的，说明 $LCA$ 还没有入过栈，所以直接连接 $3->6$ 的边，也就是 $LCA$ 到栈顶元素的边。把 $6$ 从栈中弹出，并且把 $LCA(6,7)$ 入栈。

- 判断阶段：发现栈顶节点 $6$ 的 DFS 序是大于 $LCA(7,6)$ 的，但是次大节点（栈顶节点下面的那个节点） $1$ 的 DFS 序是小于 $LCA$ 的，说明 $LCA$ 还没有入过栈，所以直接连接 $3\to6$ 的边，也就是 $LCA$ 到栈顶元素的边。把 $6$ 从栈中弹出，并且把 $LCA(6,7)$ 入栈。

- 结束了判断阶段，将 $7$ 入栈，当前栈为 $1,3,7$ 。

![vtree-17](./images/vtree-17.png)

- 发现序列里的 3 个节点已经全部加入过栈了，退出循环。

- 此时栈中还有 3 个节点： $1, 3,7$ ，很明显它们是一条链上的，所以直接链接： $1->3$ 和 $3->7$ 的边。

- 此时栈中还有 3 个节点： $1,3,7$ ，很明显它们是一条链上的，所以直接链接： $1\to3$ 和 $3\to7$ 的边。

- 虚树就建完啦！

![vtree-18](./images/vtree-18.png)

???+note "代码实现"

    ```cpp

    sort(h + 1, h + 1 + k, cmp);

    inline bool cmp(const int x, const int y) { return id[x] < id[y]; }

    void build() {

      sort(h + 1, h + k + 1, cmp);

      sta[top = 1] = 1, g.sz = 0, g.head[1] = -1;

      // 1 号节点入栈，清空 1 号节点对应的邻接表，设置邻接表边数为 1

    for (int i = 1, l; i <= k; i += 1)

      if (h[i] != 1) {  // 如果1号节点是关键节点就不要重复添加

        l = lca(h[i], sta[top]);  // 计算当前节点与栈顶节点的LCA

      for (int i = 1, l; i <= k; ++i)

        if (h[i] != 1) {

          //如果 1 号节点是关键节点就不要重复添加

          l = lca(h[i], sta[top]);

          //计算当前节点与栈顶节点的 LCA

          if (l != sta[top]) {

            //如果 LCA 和栈顶元素不同，则说明当前节点不再当前栈所存的链上

            while (id[l] < id[sta[top - 1]])

          g.head[h[i]] = -1, sta[++top] = h[i];

          //当前节点必然是第一次入栈，清空邻接表并入栈

        }

    for (int i = 1; i < top; i += 1)

      for (int i = 1; i < top; ++i)

        g.push(sta[i], sta[i + 1]);  //剩余的最后一条链连接一下

      return;

    }

    ```

于是我们就学会了虚树的建立了！