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从 NOIP 到 NOI 到 IOI，各种难度的分块思想都有出现。

通常的分块算法的复杂度带根号，或者其他奇怪的复杂度，而不是 $\log$ 。

分块的基本思想是，通过对原数据的适当划分，并在划分后的每一个块上预处理部分信息，从而较一般的暴力算法取得更优的时间复杂度。

分块是一种很灵活的思想，几乎什么都能分块，并且不难实现。

分块的时间复杂度主要取决于分块的块长，一般可以通过均值不等式求出某个问题下的最优块长，以及相应的时间复杂度。

你想写出什么数据结构就有什么，缺点是渐进意义的复杂度不够好。

分块是一种很灵活的思想，相较于树状数组和线段树，分块的优点是通用性更好，可以维护很多树状数组和线段树无法维护的信息。

当然，在 $n=10^5$ 时，由于常数小，跟线段树可能差不多。

当然，分块的缺点是渐进意义的复杂度，相较于线段树和树状数组不够好。

这不是建议用分块的意思，在 OI 中，可以作为一个备用方案，首选肯定是线段树等理论复杂度更小的数据结构。

不过在大多数问题上，分块仍然是解决这些问题的一个不错选择。

以下通过几个例子来介绍～

下面是几个例子。

## 区间和

动机：线段树太难写？

将序列分段，每段长度 $T$ ，那么一共有 $\frac{n}{T}$ 段。

维护每一段的区间和。

单点修改：显然。

区间询问：会涉及一些完整的段，和最多两个段的一部分。

完整段使用维护的信息，一部分暴力求。

复杂度 $O(\frac{n}{T}+T)$ 。

区间修改：同样涉及这些东西，使用打标记和暴力修改，同样的复杂度。

当 $T=\sqrt{n}$ 时，复杂度 $O(\sqrt{n})$ 。

??? "例题 [LibreOJ 6280 数列分块入门 4](https://loj.ac/problem/6280)"

    给定一个长度为 $n$ 的序列 $\{a_i\}$ ，需要执行 $n$ 次操作。操作分为两种：

    1. 给 $a_l \sim a_r$ 之间的所有数加上 $x$ ；

    2.  求 $\sum_{i=l}^r a_i$ 。

         $1 \leq n \leq 5 \times 10^4$ 

我们将序列按每 $s$ 个元素一块进行分块，并记录每块的区间和 $b_i$ 。

$$

 \underbrace{a_1, a_2, \ldots, a_s}_{\text{b_1}}, \underbrace{a_{s+1}, \ldots, a_{2s}_{\text{b_2}}, \dots, \underbrace{a_{(s-1) \times s+1}, \dots, a_n}_{\text{b_{\frac{n}{s}}}} 

$$

最后一个块可能是不完整的（因为 $n$ 很可能不是 $s$ 的倍数），但是这对于我们的讨论来说并没有太大影响。

首先看查询操作：

- 若 $l$ 和 $r$ 在同一个块内，直接暴力求和即可，因为块长为 $s$ ，因此最坏复杂度为 $O(s)$ 。

- 若 $l$ 和 $r$ 不在同一个块内，则答案由三部分组成：以 $l$ 开头的不完整块，中间几个完整块，以 $r$ 结尾的不完整块。对于不完整的块，仍然采用上面暴力计算的方法，对于完整块，则直接利用已经求出的 $b_i$ 求和即可。这种情况下，最坏复杂度为 $O(\dfrac{n}{s}+s)$ 。

接下来是修改操作：

- 若 $l$ 和 $r$ 在同一个块内，直接暴力修改即可，因为块长为 $s$ ，因此最坏复杂度为 $O(s)$ 。

- 若 $l$ 和 $r$ 不在同一个块内，则需要修改三部分：以 $l$ 开头的不完整块，中间几个完整块，以 $r$ 结尾的不完整块。对于不完整的块，仍然是暴力修改每个元素的值（别忘了更新区间和 $b_i$ ），对于完整块，则直接修改 $b_i$ 即可。这种情况下，最坏复杂度和仍然为 $O(\dfrac{n}{s}+s)$ 。

利用均值不等式可知，当 $\dfrac{n}{s}=s$ ，即 $s=\sqrt n$ 时，单次操作的时间复杂度最优，为 $O(\sqrt n)$ 。

??? note "参考代码"

    ```cpp

    #include <cmath>

    #include <iostream>

    using namespace std;

    int id[50005], len;

    long long a[50005], b[50005], s[50005];

    void add(int l, int r, long long x) {

      int sid = id[l], eid = id[r];

      if (sid == eid) {

        for (int i = l; i <= r; i++) a[i] += x, s[sid] += x;

        return;

      }

      for (int i = l; id[i] == sid; i++) a[i] += x, s[sid] += x;

      for (int i = sid + 1; i < eid; i++) b[i] += x, s[i] += len * x;

      for (int i = r; id[i] == eid; i--) a[i] += x, s[eid] += x;

    }

    long long query(int l, int r, long long p) {

      int sid = id[l], eid = id[r];

      long long ans = 0;

      if (sid == eid) {

        for (int i = l; i <= r; i++) ans = (ans + a[i] + b[sid]) % p;

        return ans;

      }

      for (int i = l; id[i] == sid; i++) ans = (ans + a[i] + b[sid]) % p;

      for (int i = sid + 1; i < eid; i++) ans = (ans + s[i]) % p;

      for (int i = r; id[i] == eid; i--) ans = (ans + a[i] + b[eid]) % p;

      return ans;

    }

    int main() {

      int n;

      cin >> n;

      len = sqrt(n);

      for (int i = 1; i <= n; i++) {

        cin >> a[i];

        id[i] = (i - 1) / len + 1;

        s[id[i]] += a[i];

      }

      for (int i = 1; i <= n; i++) {

        int op, l, r, c;

        cin >> op >> l >> r >> c;

        if (op == 0)

          add(l, r, c);

        else

          cout << query(l, r, c + 1) << endl;

      }

      return 0;

    }

    ```

## 区间和 2

总复杂度： $O(mT+n\frac{m}{T})$ 。

 $T=\sqrt{n}$ 时，总复杂度 $O(m \sqrt{n})$ 。

### 其他问题

分块思想也可以应用于其他整数相关问题：寻找零元素的数量、寻找第一个非零元素、计算满足某个性质的元素个数等等。

还有一些问题可以通过分块来解决，例如维护一组允许添加或删除数字的集合，检查一个数是否属于这个集合，以及查找第 $k$ 大的数。要解决这个问题，必须将数字按递增顺序存储，并分割成多个块，每个块中包含 $\sqrt{n}$ 个数字。每次添加或删除一个数字时，必须通过在相邻块的边界移动数字来重新分块。

一种很有名的离线算法 [莫队算法](../misc/mo-algo.md) ，也是基于分块思想实现的。

## 练习题

-  [UVA - 12003 - Array Transformer](https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=3154) 

-  [UVA - 11990 Dynamic Inversion](https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=3141) 

-  [SPOJ - Give Away](http://www.spoj.com/problems/GIVEAWAY/) 

-  [Codeforces - Till I Collapse](http://codeforces.com/contest/786/problem/C) 

-  [Codeforces - Destiny](http://codeforces.com/contest/840/problem/D) 

-  [Codeforces - Holes](http://codeforces.com/contest/13/problem/E) 

-  [Codeforces - XOR and Favorite Number](https://codeforces.com/problemset/problem/617/E) 

-  [Codeforces - Powerful array](http://codeforces.com/problemset/problem/86/D) 

-    [SPOJ - DQUERY](https://www.spoj.com/problems/DQUERY) 

     **本页面主要译自博文 [Sqrt-декомпозиция](http://e-maxx.ru/algo/sqrt_decomposition) 与其英文翻译版 [Sqrt Decomposition](https://cp-algorithms.com/data_structures/sqrt_decomposition.html) 。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。**