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然后？

开个数组 $mem$ , 记录下来每个 $dfs(pos,tleft)$ 的返回值。刚开始把 $mem$ 中每个值都设成 $-1$ （代表没访问过）. 每次刚刚进入一个 dfs 前（我们的 dfs 是递归调用的嘛）, 都检测 $mem[pos][tleft]$ 是否为 $-1$ , 如果是就正常执行并把答案记录到 $mem$ 中，否则？

开个数组 $mem$ , 记录下来每个 $dfs(pos,tleft)$ 的返回值。刚开始把 $mem$ 中每个值都设成 $-1$ （代表没访问过）。每次刚刚进入一个 dfs 前（我们的 dfs 是递归调用的嘛），都检测 $mem[pos][tleft]$ 是否为 $-1$ , 如果是就正常执行并把答案记录到 $mem$ 中，否则？

**直接返回 $mem$ 中的值！**

#### 总结一下记忆化搜索是啥：

-   不依赖任何**外部变量**

-   答案以返回值的形式存在，而不能以参数的形式存在（就是不能将 dfs 定义成 $dfs(pos ,tleft , nowans )$ , 这里面的 nowans 不符合要求）.

-   答案以返回值的形式存在，而不能以参数的形式存在（就是不能将 dfs 定义成 $dfs(pos ,tleft , nowans )$ , 这里面的 nowans 不符合要求）。

-   对于相同一组参数，dfs 返回值总是相同的

* * *

-   记忆化搜索可以避免搜到无用状态，特别是在有状态压缩时

举例：给你一个有向图（注意不是完全图）, 经过每条边都有花费，求从点 1 出发，经过每个点**恰好一次**后的最小花费（最后不用回到起点）, 保证路径存在。

举例：给你一个有向图（注意不是完全图），经过每条边都有花费，求从点 1 出发，经过每个点**恰好一次**后的最小花费（最后不用回到起点），保证路径存在。

dp 状态很显然：

那我们先扯一下主席树的内容。在用主席树求区间第 $K$ 小的时候，我们以 $K$ 为基准，向左就向左，向右要减去向左的值，在划分树中也是这样子的。

查询难理解的，在于**区间缩小**这种东西。下图，我查询的是 $3$ 到 $7$ , 那么下一层我就只需要查询 $2$ 到 $3$ 了。当然，我们定义 $left,right$ 为缩小后的区间（目标区间）, $l,r$ 还是我所在节点的区间。那为什么要标出目标区间呢？因为那是**判定答案在左边，右边的基准**。

查询难理解的，在于**区间缩小**这种东西。下图，我查询的是 $3$ 到 $7$ , 那么下一层我就只需要查询 $2$ 到 $3$ 了。当然，我们定义 $left,right$ 为缩小后的区间（目标区间）， $l,r$ 还是我所在节点的区间。那为什么要标出目标区间呢？因为那是**判定答案在左边，右边的基准**。

![](./images/dividing2.png)

如果把 Treap 变为非旋转的，我们发现可以通过可持久化**Merge**和**Split**操作就可以完成可持久化。

「一切可支持操作都可以通过**Merge****Split****Newnode****Build**完成」，而**Build**操作只用于建造无需理会，**Newnode**（新建节点）就是用来可持久化的工具。

「一切可支持操作都可以通过**Merge\*\***Split\***\*Newnode\*\***Build**完成」，而**Build**操作只用于建造无需理会，**Newnode\*\*（新建节点）就是用来可持久化的工具。

我们来观察一下**Merge**和**Split**，我们会发现它们都是由上而下的操作！

一般来讲，我们可以用 `bitset` 优化一些可行性 DP, 或者线筛素数 ( `notprime` 这种 `bool` 数组可以用 `bitset` 开到 $10^8$ 之类的）

它最主要的作用还是压掉了内存带来的时间优化， $\frac{1}{32}$ 的常数优化已经可以是复杂度级别的优化了，比如一个 $N = 1000$ 的 $O(N^3)$ 算法， $10^9$ 显然很卡，在常数大一点的情况下必然卡不过去，**O（松）不能算！!!!**, 这时候如果我们某一维除以 32, 则可以比较保险的过了这道题

它最主要的作用还是压掉了内存带来的时间优化， $\frac{1}{32}$ 的常数优化已经可以是复杂度级别的优化了，比如一个 $N = 1000$ 的 $O(N^3)$ 算法， $10^9$ 显然很卡，在常数大一点的情况下必然卡不过去，**O（松）不能算！!!**, 这时候如果我们某一维除以 32, 则可以比较保险的过了这道题

其实 `bitset` 不光是一个容器，更是一种思想，我们可以通过手写的方式，来把 `long long` 什么的压成每 bit 表示一个信息，用 STL 的原因更多是因为它的运算符方便

-   [Judge Duck Online](https://duck.ac/)（松松松的 OJ，精确到 $\mu s$ )

-   [JoyOI](http://www.joyoi.cn/)（原 Tyvj)

-   [LibreOJ](https://loj.ac/)

-   [洛谷](https://www.luogu.org/) (常用 OJ，现代 OJ 支持发布比赛等很多功能)

-   [洛谷](https://www.luogu.org/)（常用 OJ，现代 OJ 支持发布比赛等很多功能）

-   [牛客网](https://www.nowcoder.com/)

-   [OpenJudge](http://openjudge.cn/)

-   [POJ](http://poj.org/) (PKU OJ，国内历史最悠久的 OJ 之一，很多英文题，有一些基础题和好题)

-   [POJ](http://poj.org/)(PKU OJ，国内历史最悠久的 OJ 之一，很多英文题，有一些基础题和好题）

-   [PTA - 拼题 A](https://pintia.cn/)

-   [Universal Online Judge](http://uoj.ac/) (VFK 的 OJ，多原创比赛题和 CCF/THU 题 难度较高)

-   [Universal Online Judge](http://uoj.ac/)(VFK 的 OJ，多原创比赛题和 CCF/THU 题 难度较高）

-   [Vijos](https://vijos.org/)

-   [Virtual Judge](https://vjudge.net/)（可以方便的在 Vjudge 上提交别的 OJ 的题，尤其是一些国内不太方便的 OJ)

-   [ZOJ](http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/)（浙大）