Loading docs/math/pollar-rho.md 0 → 100644 +228 −0 Original line number Diff line number Diff line Pollar-Rho 算法是一种用于快速分解质因数的算法。 ## 问题引入 给定一个正整数$N \in \mathbb{N}_{+}$，试快速找到它的一个因数。 考虑朴素算法，因数是成对分布的，$N$的所有因数可以被分成两块，即$[1,\sqrt N]$和$[\sqrt N+1,N]$。只需要把$[1,\sqrt N]$里的数遍历一遍，再根据除法就可以找出至少两个因数了。这个方法的时间复杂度为$O(\sqrt N)$。 当$N\ge10^{18}$时，这个算法的运行时间我们是无法接受的，希望有更优秀的算法。一种想法是通过随机的方法，猜测一个数是不是$N$的因数，如果运气好可以在$O(1)$的时间复杂度下求解答案，但是对于$N\ge10^{18}$的数据，成功猜测的概率是$\frac{1}{10^{18}}$,期望猜测的次数是$10^{18}$。如果是在$[1,\sqrt N]$里进行猜测，成功率会大一些。我们希望有方法来优化猜测。 ## 生日悖论 不考虑出生年份，问：一个房间中至少多少人，才能使其中两个人生日相同的概率达到$50\%$? 解： 假设一年有 $n$ 天，屋子中有 $k$ 人，用整数 $1, 2,\dots, k$对这些人进行编号。假定每个人的生日均匀分布于 $n$ 天之中，且两个人的生日相互独立。 设 k 个人生日互不相同为事件$A$, 则事件$A$的概率为 $$ P(A)=\frac{n}{n} * \frac{n-1}{n} * \dots *\frac{n-k+1}{n} $$ 至少有两个人生日相同的概率为$P(\overline A)=1-P(A)$。根据题意可知$P(\overline A)\ge\frac{1}{2}$ ,那么就有$1 * \frac{n-1}{n} * \dots *\frac{n-k+1}{n} \le \frac{1}{2}$ 由不等式$1+x\le e^x$可得 $$ P(A) \le e^{-\frac{1}{n}}* e^{-\frac{2}{n}}*\dots * e^{-\frac{k-1}{n}}=e^{-\frac{k(k-1)}{2n}}\le\frac{1}{2}\\ e^{-\frac{k(k-1)}{2n}}\le\frac{1}{2} $$ 将$n=365$代入，解得$k=23$。所以一个房间中至少23人，使其中两个人生日相同的概率达到$50\%$,但这个数学事实十分反直觉，故称之为一个悖论。 然而我们可以得到一个不等式方程，$e^{-\frac{k(k-1)}{2n}}\le 1-p$，其中$p$是一个概率。那么当$k=57$，$n=365$时，可以求得$p\approx 0.99$。 考虑一个问题，设置一个数据$n$，在$[1,1000]$里随机选取$i$个数（$i=1$时就是它自己），使它们之间有两个数的差值为$k$。当$i=1$时成功的概率是$\frac{1}{1000}$，当$i=2$时成功的概率是$\frac{1}{500}$（考虑绝对值,$k_2$可以取$k_1-k$或$k_1+k$），随着$i$的增大，这个概率也会增大最后趋向于1。 ## 优化随机算法 最大公约数一定是某个数的约数，即$\forall k \in\mathbb{N}_{+},gcd(k,n)|n$，只要选适当的$k$使得$1<\gcd(k,n)< n$，就可以求得一个约数$\gcd(k,n)$。满足这样条件的$k$不少，$k$有若干个质因子，每个质因子及其倍数都是可行的。 根据生日悖论，取多组数据作差能够优化取数的精确性。那么不妨取一组数 $x_1,x_2,\dots,x_n$若有$1<\gcd(|x_i-x_j|,n) < n$,则称$gcd(|x_i-x_j|,N)$是$N$的一个因子（更严谨一些，应该是非平凡因子，即满足 $1< d < n,d|n$ 的那些数）。 ### 构造伪随机函数 构造一个伪随机数序列，取相邻的两项来求$\gcd(|x_i-x_j|,N)$。通过$f(x)=(x^2+c)\%n$来生成随机数，其中$c=rand()$，是一个随机的常数。 随机取一个$x_1$，令$x_2=f(x_1),x_3=f(x_2),\dots,x_i=f(x_{i-1})$，在一定范围内可以认为这个数列是“随机”的。 举个例子，设$N=50,c=2,x_1=1$ $f(x)$生成的数据为 $$ 1,3,11,23,31,11,23,31,\dots $$ 可以发现数据在3以后都在11,23,31之间循环，这也是$f(x)$被称为伪随机函数的原因。 ### Floyd判环 假设两个人在赛跑，A的速度快，B的速度慢，经过一定时间后，A一定会和B相遇，且相遇时A跑过的总距离减去B跑过的总距离一定是圈长的 n 倍。 设$a=f(1),b=f(f(1))$，每一次更新$a=f(a),b=f(f(b))$，只要检查在更新过程中a、b是否相等，如果相等了，那么就出现了环。 我们每次对$d=gcd(|x_i-x_j|,n)$，判断d是否满足$1< d< n$，若满足则可直接返回$d$。由于$x_i$是一个伪随机数列，必定会形成环，在形成环时就不能再继续操作了，直接返回n本身，并且在后续操作里调整随机常数$c$，重新分解。 ??? note "基于Floyd判环的Pollar-Rho算法" ```c++ ll PR(ll N) { ll c = rand() % (N - 1) + 1; ll t = f(0, c, N); ll r = f(f(0, c, N), c, N); while(t != r) { ll d = gcd(abs(t - r), N); if(d > 1) return d; t = f(t, c, N); r = f(f(r, c, N), c, N); } return N; } ``` ### 倍增优化 使用$gcd$求解的时间复杂度为$O(log N)$，频繁地调用会使算法运行地很慢，可以通过乘法累积来减少求$gcd$的次数。如果$1< gcd(a,b)$，则有$1< gcd(ac,b)$，$c\in \mathbb{N}_{+}$，并且有$1< gcd(ac \%b,b)=gcd(a,b)$。 我们每过一段时间将这些差值进行$gcd$运算，设$s=\prod|x_0-x_j|\% n$，如果某一时刻得到$s=0$那么表示分解失败，退出并返回$n$本身。每隔$2^k$个数，计算是否满足$1< gcd(s, n) < n$。 ??? note "参考实现" ```c++ ll PR(ll x) { ll s = 0,t = 0; ll c= rand() % (x - 1) + 1; int step = 0, goal = 1; ll val = 1; for( goal=1; ;goal <<= 1, s = t, val = 1) { for(step = 1; step <= goal; ++step) { t = f(t, c, x); val= val * abs(t - s) % x; if( (step % 127) == 0 ) { ll d = gcd(val,x); if (d > 1) return d; } } ll d = gcd(val, x); if(d > 1) return d; } } ``` 例题:[P4718 【模板】Pollard-Rho算法](https://www.luogu.com.cn/problem/P4718) 对于一个数 n ，用[Miller Rabin算法](/prime/#_4)判断是否为素数，如果是就可以直接返回了，否则用Pollard-Rho算法找一个因子 p ，将 n 除去因子 p 。再递归分解 n 和 p ，用Miller Rabin判断是否出现质因子，并用max_factor更新就可以求出最大质因子了。由于这个题目的数据过于庞大，用Floyd判环的方法是不够的，这里采用倍增优化的方法。 ??? note "参考实现" ```c++ #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; #define lll __int128 int t; ll max_factor, n; inline ll gcd(ll a,ll b) { if(b == 0) return a; return gcd(b, a % b); } inline ll qp(ll x,ll p,ll mod) { ll ans = 1; while(p) { if(p & 1) ans = (lll)ans * x % mod; x = (lll) x * x % mod; p >>= 1; } return ans; } inline bool Miller_rabin(ll p){ if (p < 2) return 0; if (p == 2) return 1; if (p == 3) return 1; ll d = p - 1, r = 0; while(!(d&1)) ++r, d >>=1; for(ll k =0; k < 10; ++k) { ll a = rand() % (p - 2) + 2; ll x = qp(a, d, p); if(x == 1 || x == p-1) continue; for(int i = 0; i < r - 1; ++ i) { x = (lll)x * x % p; if(x == p - 1) break; } if(x != p - 1) return 0; } return 1; } inline ll f(ll x,ll c,ll n) { return ((lll)x * x + c) % n; } inline ll PR(ll x) { ll s = 0,t = 0; ll c = (ll)rand() % (x - 1) + 1; int step = 0, goal = 1; ll val = 1; for( goal=1; ;goal <<= 1, s = t, val = 1) { for(step = 1; step <= goal; ++step) { t = f(t, c, x); val= (lll)val * abs(t - s) % x; if( (step % 127) == 0 ) { ll d = gcd(val,x); if (d > 1) return d; } } ll d = gcd(val, x); if(d > 1) return d; } } inline void fac(ll x) { if(x <= max_factor || x < 2) return; if(Miller_rabin(x)) { max_factor = max(max_factor, x); return; } ll p = x; while(p >= x) p = PR(x); while((x % p) == 0) x /= p; fac(x),fac(p); } int main() { scanf("%d", &t); while(t --) { srand((unsigned)time(NULL)); max_factor=0; scanf("%lld", &n); fac(n); if(max_factor == n) printf("Prime\n"); else printf("%lld\n",max_factor); } return 0; } ``` mkdocs.yml +1 −0 Original line number Diff line number Diff line Loading @@ -214,6 +214,7 @@ nav: - 莫比乌斯反演: math/mobius.md - 杜教筛: math/du.md - Min_25 筛: math/min-25.md - Pollar-rho: math/pollar-rho.md - 多项式: - 多项式部分简介: math/poly/intro.md - 拉格朗日插值: math/poly/lagrange.md Loading Loading
docs/math/pollar-rho.md 0 → 100644 +228 −0 Original line number Diff line number Diff line Pollar-Rho 算法是一种用于快速分解质因数的算法。 ## 问题引入 给定一个正整数$N \in \mathbb{N}_{+}$，试快速找到它的一个因数。 考虑朴素算法，因数是成对分布的，$N$的所有因数可以被分成两块，即$[1,\sqrt N]$和$[\sqrt N+1,N]$。只需要把$[1,\sqrt N]$里的数遍历一遍，再根据除法就可以找出至少两个因数了。这个方法的时间复杂度为$O(\sqrt N)$。 当$N\ge10^{18}$时，这个算法的运行时间我们是无法接受的，希望有更优秀的算法。一种想法是通过随机的方法，猜测一个数是不是$N$的因数，如果运气好可以在$O(1)$的时间复杂度下求解答案，但是对于$N\ge10^{18}$的数据，成功猜测的概率是$\frac{1}{10^{18}}$,期望猜测的次数是$10^{18}$。如果是在$[1,\sqrt N]$里进行猜测，成功率会大一些。我们希望有方法来优化猜测。 ## 生日悖论 不考虑出生年份，问：一个房间中至少多少人，才能使其中两个人生日相同的概率达到$50\%$? 解： 假设一年有 $n$ 天，屋子中有 $k$ 人，用整数 $1, 2,\dots, k$对这些人进行编号。假定每个人的生日均匀分布于 $n$ 天之中，且两个人的生日相互独立。 设 k 个人生日互不相同为事件$A$, 则事件$A$的概率为 $$ P(A)=\frac{n}{n} * \frac{n-1}{n} * \dots *\frac{n-k+1}{n} $$ 至少有两个人生日相同的概率为$P(\overline A)=1-P(A)$。根据题意可知$P(\overline A)\ge\frac{1}{2}$ ,那么就有$1 * \frac{n-1}{n} * \dots *\frac{n-k+1}{n} \le \frac{1}{2}$ 由不等式$1+x\le e^x$可得 $$ P(A) \le e^{-\frac{1}{n}}* e^{-\frac{2}{n}}*\dots * e^{-\frac{k-1}{n}}=e^{-\frac{k(k-1)}{2n}}\le\frac{1}{2}\\ e^{-\frac{k(k-1)}{2n}}\le\frac{1}{2} $$ 将$n=365$代入，解得$k=23$。所以一个房间中至少23人，使其中两个人生日相同的概率达到$50\%$,但这个数学事实十分反直觉，故称之为一个悖论。 然而我们可以得到一个不等式方程，$e^{-\frac{k(k-1)}{2n}}\le 1-p$，其中$p$是一个概率。那么当$k=57$，$n=365$时，可以求得$p\approx 0.99$。 考虑一个问题，设置一个数据$n$，在$[1,1000]$里随机选取$i$个数（$i=1$时就是它自己），使它们之间有两个数的差值为$k$。当$i=1$时成功的概率是$\frac{1}{1000}$，当$i=2$时成功的概率是$\frac{1}{500}$（考虑绝对值,$k_2$可以取$k_1-k$或$k_1+k$），随着$i$的增大，这个概率也会增大最后趋向于1。 ## 优化随机算法 最大公约数一定是某个数的约数，即$\forall k \in\mathbb{N}_{+},gcd(k,n)|n$，只要选适当的$k$使得$1<\gcd(k,n)< n$，就可以求得一个约数$\gcd(k,n)$。满足这样条件的$k$不少，$k$有若干个质因子，每个质因子及其倍数都是可行的。 根据生日悖论，取多组数据作差能够优化取数的精确性。那么不妨取一组数 $x_1,x_2,\dots,x_n$若有$1<\gcd(|x_i-x_j|,n) < n$,则称$gcd(|x_i-x_j|,N)$是$N$的一个因子（更严谨一些，应该是非平凡因子，即满足 $1< d < n,d|n$ 的那些数）。 ### 构造伪随机函数 构造一个伪随机数序列，取相邻的两项来求$\gcd(|x_i-x_j|,N)$。通过$f(x)=(x^2+c)\%n$来生成随机数，其中$c=rand()$，是一个随机的常数。 随机取一个$x_1$，令$x_2=f(x_1),x_3=f(x_2),\dots,x_i=f(x_{i-1})$，在一定范围内可以认为这个数列是“随机”的。 举个例子，设$N=50,c=2,x_1=1$ $f(x)$生成的数据为 $$ 1,3,11,23,31,11,23,31,\dots $$ 可以发现数据在3以后都在11,23,31之间循环，这也是$f(x)$被称为伪随机函数的原因。 ### Floyd判环 假设两个人在赛跑，A的速度快，B的速度慢，经过一定时间后，A一定会和B相遇，且相遇时A跑过的总距离减去B跑过的总距离一定是圈长的 n 倍。 设$a=f(1),b=f(f(1))$，每一次更新$a=f(a),b=f(f(b))$，只要检查在更新过程中a、b是否相等，如果相等了，那么就出现了环。 我们每次对$d=gcd(|x_i-x_j|,n)$，判断d是否满足$1< d< n$，若满足则可直接返回$d$。由于$x_i$是一个伪随机数列，必定会形成环，在形成环时就不能再继续操作了，直接返回n本身，并且在后续操作里调整随机常数$c$，重新分解。 ??? note "基于Floyd判环的Pollar-Rho算法" ```c++ ll PR(ll N) { ll c = rand() % (N - 1) + 1; ll t = f(0, c, N); ll r = f(f(0, c, N), c, N); while(t != r) { ll d = gcd(abs(t - r), N); if(d > 1) return d; t = f(t, c, N); r = f(f(r, c, N), c, N); } return N; } ``` ### 倍增优化 使用$gcd$求解的时间复杂度为$O(log N)$，频繁地调用会使算法运行地很慢，可以通过乘法累积来减少求$gcd$的次数。如果$1< gcd(a,b)$，则有$1< gcd(ac,b)$，$c\in \mathbb{N}_{+}$，并且有$1< gcd(ac \%b,b)=gcd(a,b)$。 我们每过一段时间将这些差值进行$gcd$运算，设$s=\prod|x_0-x_j|\% n$，如果某一时刻得到$s=0$那么表示分解失败，退出并返回$n$本身。每隔$2^k$个数，计算是否满足$1< gcd(s, n) < n$。 ??? note "参考实现" ```c++ ll PR(ll x) { ll s = 0,t = 0; ll c= rand() % (x - 1) + 1; int step = 0, goal = 1; ll val = 1; for( goal=1; ;goal <<= 1, s = t, val = 1) { for(step = 1; step <= goal; ++step) { t = f(t, c, x); val= val * abs(t - s) % x; if( (step % 127) == 0 ) { ll d = gcd(val,x); if (d > 1) return d; } } ll d = gcd(val, x); if(d > 1) return d; } } ``` 例题:[P4718 【模板】Pollard-Rho算法](https://www.luogu.com.cn/problem/P4718) 对于一个数 n ，用[Miller Rabin算法](/prime/#_4)判断是否为素数，如果是就可以直接返回了，否则用Pollard-Rho算法找一个因子 p ，将 n 除去因子 p 。再递归分解 n 和 p ，用Miller Rabin判断是否出现质因子，并用max_factor更新就可以求出最大质因子了。由于这个题目的数据过于庞大，用Floyd判环的方法是不够的，这里采用倍增优化的方法。 ??? note "参考实现" ```c++ #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; #define lll __int128 int t; ll max_factor, n; inline ll gcd(ll a,ll b) { if(b == 0) return a; return gcd(b, a % b); } inline ll qp(ll x,ll p,ll mod) { ll ans = 1; while(p) { if(p & 1) ans = (lll)ans * x % mod; x = (lll) x * x % mod; p >>= 1; } return ans; } inline bool Miller_rabin(ll p){ if (p < 2) return 0; if (p == 2) return 1; if (p == 3) return 1; ll d = p - 1, r = 0; while(!(d&1)) ++r, d >>=1; for(ll k =0; k < 10; ++k) { ll a = rand() % (p - 2) + 2; ll x = qp(a, d, p); if(x == 1 || x == p-1) continue; for(int i = 0; i < r - 1; ++ i) { x = (lll)x * x % p; if(x == p - 1) break; } if(x != p - 1) return 0; } return 1; } inline ll f(ll x,ll c,ll n) { return ((lll)x * x + c) % n; } inline ll PR(ll x) { ll s = 0,t = 0; ll c = (ll)rand() % (x - 1) + 1; int step = 0, goal = 1; ll val = 1; for( goal=1; ;goal <<= 1, s = t, val = 1) { for(step = 1; step <= goal; ++step) { t = f(t, c, x); val= (lll)val * abs(t - s) % x; if( (step % 127) == 0 ) { ll d = gcd(val,x); if (d > 1) return d; } } ll d = gcd(val, x); if(d > 1) return d; } } inline void fac(ll x) { if(x <= max_factor || x < 2) return; if(Miller_rabin(x)) { max_factor = max(max_factor, x); return; } ll p = x; while(p >= x) p = PR(x); while((x % p) == 0) x /= p; fac(x),fac(p); } int main() { scanf("%d", &t); while(t --) { srand((unsigned)time(NULL)); max_factor=0; scanf("%lld", &n); fac(n); if(max_factor == n) printf("Prime\n"); else printf("%lld\n",max_factor); } return 0; } ```
mkdocs.yml +1 −0 Original line number Diff line number Diff line Loading @@ -214,6 +214,7 @@ nav: - 莫比乌斯反演: math/mobius.md - 杜教筛: math/du.md - Min_25 筛: math/min-25.md - Pollar-rho: math/pollar-rho.md - 多项式: - 多项式部分简介: math/poly/intro.md - 拉格朗日插值: math/poly/lagrange.md Loading
