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## 写在前面

线段树是个好东西啊 QwQ

线段树是个好东西啊！

OI 中最常用的数据结构之一，不学不行啊 OvO

OI 中最常用的数据结构之一，不学不行啊！

## 线段树是什么

> 线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，时间复杂度为 $O(\log N)$ 。而未优化的空间复杂度为 $2N$ ，因此有时需要离散化让空间压缩。——From 度娘

> 线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，时间复杂度为 $O(\log N)$ 。而未优化的空间复杂度为 $2N$ ，因此有时需要离散化让空间压缩。——via 百度

反正就是一种可以在很短的时间内对某个区间进行操作的数据结构。

想要建立一棵线段树，不理解它的结构、原理是肯定行不通的。

下面我来举个栗子：

下面我来举个例子：

我们有个大小为 $5$ 的数组 $a=\{10,11,12,13,14\}$ 要进行区间求和操作，现在我们要怎么把这个数组存到线段树中（也可以说是转化成线段树）呢？我们这样子做：设线段树的根节点编号为 $1$ ，用数组 $d$ 来保存我们的线段树， $d[i]$ 用来保存编号为 $i$ 的节点的值（这里节点的值就是这个节点所表示的区间总和），如图所示：![](./images/segt1.png)

通过观察我们不难发现， $d[i]$ 的左儿子节点就是 $d[2\times i]$ ， $d[i]$ 的右节点就是 $d[2\times i+1]$ 。进一步观察，可以看出如果 $d[i]$ 表示的是区间 $[s,t]$ （即 $d[i]=a[s]+a[s+1]+ \cdots +a[t]$ ) 的话，那么 $d[i]$ 的左儿子节点表示的是区间 $[s, \frac{s+t}{2} ]$ ， $d[i]$ 的右儿子表示的是区间 $[ \frac{s+t}{2} +1,t]$ 。

为什么要这样表示呢？因为线段树利用了二分的思想，线段树实际上是个二叉树，这些不懂的话就无法理解线段树了，所以如果不明白二分或者二叉树的话……建议去问问度娘。

为什么要这样表示呢？因为线段树利用了二分的思想，线段树实际上是个二叉树，这些不懂的话就无法理解线段树了，所以如果不明白二分或者二叉树的话，可以去查查。

具体要怎么用代码实现呢？

我们继续观察，有没有发现如果 $d[i]$ 表示的区间大小等于 $1$ （区间大小指的是区间包含的元素的个数，即 $a$ 的个数）的话（设 $d[i]$ 表示区间 $[s,t]$ ，它的区间大小就是 $t-s+1$ ，不信你看上面的图），那么 $d[i]$ 所表示的区间 $[s,t]$ 中 $s$ 肯定等于 $t$ （不信你还是看图），且 $d[i]=a[s]$ （当然也等于 $a[t]$ ）。

为什么要讲这个东西呢？你没发现这个是个递归边界吗？

O(∩\_∩)O 哈哈~

 **思路如下：** ![](./images/segt2.png)![](./images/segt3.png)![](./images/segt4.png)

（发博客累死了无聊一下）

如果要查询区间 $[1,5]$ 的和，那直接获取 $d[1]$ 的值（ $60$ ）即可。那如果我就不查询区间 $[1,5]$ ，我就查区间 $[3,5]$ 呢？

 **Σ(⊙▽⊙"a** 

懵 B 了吧。但其实呢我们肯定还是有办法的！

 **<(~ˇ~)/** 

你要查的不是 $[3,5]$ 吗？我把 $[3,5]$ 拆成 $[3,3]$ 和 $[4,5]$ 不就行了吗？

具体思路见代码：

### 线段树的区间修改与懒惰标记

区间修改是个很有趣的东西 o(╯□╰)o……你想啊，如果你要修改区间 $[l,r]$ ，难道把所有包含在区间[l,r]中的节点都遍历一次、修改一次？那估计这时间复杂度估计会上天 |(\*′口\`)。这怎么办呢？我们这里要引用一个叫做 **「懒惰标记」** 的东西。

区间修改是个很有趣的东西……你想啊，如果你要修改区间 $[l,r]$ ，难道把所有包含在区间[l,r]中的节点都遍历一次、修改一次？那估计这时间复杂度估计会上天。这怎么办呢？我们这里要引用一个叫做 **「懒惰标记」** 的东西。

我们设一个数组 $b$ ， $b[i]$ 表示编号为 $i$ 的节点的懒惰标记值。啥是懒惰标记、懒惰标记值呢？(O_O)? 这里我再举个栗子（原创小故事我真有才哈哈哈 (◡ᴗ◡✿)）：

我们设一个数组 $b$ ， $b[i]$ 表示编号为 $i$ 的节点的懒惰标记值。啥是懒惰标记、懒惰标记值呢？这里我再举个例子：

> A 有两个儿子，一个是 B，一个是 C。

>

>

> 理论上来讲 A 应该把两个红包分别给 B 和 C，但是……缺钱嘛，A 就把红包偷偷收到自己口袋里了。

>

> A 高兴♂地说：「我现在有 $2$ 份红包了！我又多了 $2\times (1000000000000001\bmod 2)=2$ 圆了！哈哈哈~」

> A 高兴地说：「我现在有 $2$ 份红包了！我又多了 $2\times (1000000000000001\bmod 2)=2$ 圆了！哈哈哈~」

>

> 但是 A 知道，如果他不把红包给 B 和 C，那 B 和 C 肯定会不爽然后导致家庭矛盾最后崩溃，所以 A 对儿子 B 和 C 说：「我欠你们每人 $1$ 份 $(1000000000000001\bmod 2)$ 圆的红包，下次有新红包给过来的时候再给你们！这里我先做下记录……嗯……我钱你们各 $(1000000000000001\bmod 2)$ 圆……」

>

> 儿子 B、C 有点恼怒：「可是如果有同学问起我们我们收到了多少红包咋办？你把我们的红包都收了，我们还怎么装 ×？」

> 儿子 B、C 有点恼怒：「可是如果有同学问起我们我们收到了多少红包咋办？你把我们的红包都收了，我们还怎么装？」

>

> 父亲 A 赶忙说：「有同学问起来我就会给你们的！我欠条都写好了不会不算话的！」

>

![](./images/segt12.png)

注：这里 D 表示当前节点的值（即所表示区间的区间和）。

为什么节点 A 的 D 是 $2\times (1000000000000001\bmod 2)$ 呢？原因很简单。节点 A 表示的区间是 $[1,2]$ ，一共包含 $2$ 个元素。我们是让 $[1,2]$ 这个区间的每个元素都加上 $1000000000000001\bmod 2$ ，所以节点 A 的值就加上了 $2\times (1000000000000001\bmod 2)$ 咯 =~ω~=。

为什么节点 A 的 D 是 $2\times (1000000000000001\bmod 2)$ 呢？原因很简单。节点 A 表示的区间是 $[1,2]$ ，一共包含 $2$ 个元素。我们是让 $[1,2]$ 这个区间的每个元素都加上 $1000000000000001\bmod 2$ ，所以节点 A 的值就加上了 $2\times (1000000000000001\bmod 2)$ 咯。

如果这时候我们要查询区间 $[1,1]$ （即节点 B 的值）怎么办呢？不是说了吗？如果 B 要用到的时候，A 就把它欠的还给 B！

}

```

你有没有发现区间查询和区间修改很像吗？(...^\_\_^...)

你有没有发现区间查询和区间修改很像吗？

嘻嘻……其实平时我打线段树区间修改和查询我都是打一份，另一份复制黏贴以后再稍作修改就行了。

### LUOGU P3372【模板】线段树 1

[传送门 =~ω~=](https://www.luogu.org/problem/show?pid=3372)

[传送门](https://www.luogu.org/problem/show?pid=3372)

代码：

### LUOGU P3373【模板】线段树 2

[传送门 =~ω~=](https://www.luogu.org/problem/show?pid=3372)

[传送门](https://www.luogu.org/problem/show?pid=3372)

代码：

### CODEVS 线段树练习（这是一个系列）

[传送门 =~ω~=](http://codevs.cn/problem/?q=%E7%BA%BF%E6%AE%B5%E6%A0%91%E7%BB%83%E4%B9%A0)

[传送门](http://codevs.cn/problem/?q=%E7%BA%BF%E6%AE%B5%E6%A0%91%E7%BB%83%E4%B9%A0)

具体题解去百度吧QwQ...

具体题解去百度吧...

### HihoCoder 1078 线段树的区间修改

[传送门 =~ω~=](https://cn.vjudge.net/problem/HihoCoder-1078)

[传送门](https://cn.vjudge.net/problem/HihoCoder-1078)

代码：